Учебное пособие 1758

При этом шаг за шагом преобразуется только то, что стоит в скобках со штрихом. То есть под знаком производной. Все осталь-

ние на константу 3, то мы выносим константу 3 за знак производной

разности на разность производных. Далее сначала выносим кон-

3(2( sin( x) (x)') cos( x) (x)')

44

3(2( sin( x) ) cos( x) ) 6 sin x 3 cos( x).

91

Аналогично находим производную от второго слагаемого

Сначала мы вынесли константу 15 за знак производной и затем применили правило нахождения производной суперпозиции фор-

мул. Здесь внешняя функция x 1. Ее производная по формуле 1

таблицы 1 равна ( 1)x 1 1 x 2 . Внутренняя формула – это функ-

В заключение несколько слов о том, как безошибочно определять внешнюю и внутреннюю формулы. Это необходимо для

применения правила (П.3) нахождения производной суперпози-

ции формул:

Внешнюю функцию надо искать тогда и только тогда, когда

последнее действие в формуле под знаком производной не являет-

ся арифметическим, а совпадает с одной из основных элементар-

ных функций fk (x), перечисленных в таблице П1. Эта функция fk (x) и есть внешняя формула, производную которой fk '(x) мы всегда можем найти из таблицы П1.

92

Все, что было записано в формуле (x) до выполнения по-

следнего действия, образует внутреннюю формулу g(x), которая,

стало быть, нам также известна.

Заметим, что если заменитьg(x) на x, то должна полу-

читься снова наша внешняя формула fk (x). Этот факт можно применить в качестве проверки правильности выбора внешней и внутренней формул.

Теперь для нахождения ( (x))' по формуле (П3’) остается за-

менить в fk '(x) аргумент x на g(x) и затем умножить получившее-

ся выражение fk '(g(x)) на (g(x))'.

Следствие П.1. Если последнее действие в (x) есть fk (x) и g(x) x, то перед нами просто одна из основных табличных функ-

ций. Откуда ( (x))' fk '(x).

Десять из пятнадцати функций, включенных в таблицу П1, имеют свое собственное название, по которому мы сразу понимаем, какая формула внешняя. Остальные формулы таблицы П1 связаны со степенной или показательной функцией. То есть последнее дей-

ствие есть возведение в степень.

Если показатель степени есть константа, то есть (x) (g(x))a ,

то заменяя g(x) на x, получаем, что последнее действие, то есть внешняя функция, имеет вид y xa . То есть она является степен-

ной функцией и ее производная задается первой формулой таблицы

1.

Если же показатель степени не константа, а константа – ее ос-

нование, то есть (x) ag(x) , то заменяя g(x) на x, получаем, что последнее действие, то есть внешняя функция, имеет вид y ax ,

является показательной функцией и ее производная задается второй формулой таблицы П1.

Если и показатель, и основание степени являются функциями от x, то значит, мы имеем дело со степенно-показательной функ-

93

цией U(x)V (x) . В этом случае следует перейти от такой функции к показательной, с помощью преобразования U(x)V (x) eV (x)ln(U(x)) . В

результате внешняя функция есть exp(x) ex , формула 14 таблицы П1, а внутренняя ― g(x) V(x)ln(U(x)).

Пример П4.

В этом примере три раза подряд применена операция суперпозиции формул.

Между вертикальными прямыми для каждого случая суперпозиции указываются внешняя f (x) и внутренняя g(x) формулы, приводит-

94

ся табличная производная внешней формулы f '(x) и напоминается

образец (3’) составления производной суперпозиции формул: f '(g(x))(g(x))'.

Выполнив несколько раз такую расшифровку сценария нахождения производной суперпозиции формул, вы скоро запомните как правила дифференцирования, так и таблицу производных. В результате вы уже не будете нуждаться в постоянных подсказках, приводимых между вертикальными чертами, а сможете выписывать окончательный ответ в одну строку. Однако не торопите события. Все должно произойти само собой в свое время. Главное состоит в том, чтобы каждое ваше действие было осмысленным и обоснованным структурой самой формулы. Кроме того не надо спешить. Иначе вы наделаете ошибок.

Желаю удачного дифференцирования, и не забывайте задавать себе наводящие вопросы: «Что перед нами?» и «Какое действие в формуле под знаком производной последнее?»

Библиографический список

1.Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа. 11-е изд., стер. - СПб.: Лань, 2005. — 736 с.

2.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов. Том 1. Уч. пособие. — 13-е изд. — М.: Наука, 1985. —

432с.

3.Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа в 2-х томах М.: 1968, Наука, — 440 / 463 с.

4.Мышкис А.Д.,Зельдович Я.Б. Элементы прикладной математики. - М.: Наука (1972) — 616 с.

95

Оглавление

Введение……………………………………………………………….3

§1. Задачи, приводящие к понятию производной функции в точке…………………………………………….………...4

§2. Определение производной функции в точке, ее физический и геометрический смысл …………………..…….…8

§3. Таблица производных и правила дифференцирования………16

§4. Дифференциал функции в точке и его применение……...…...23

§5. Точки экстремума функции и их отыскание…………………..26

§6. Дифференцирование функции, заданной неявно и параметрически. Производная обратной функции……………….32

§7. Дифференциальные теоремы о среднем……………...……...38 §8. Раскрытие неопределённостей по правилу Лопиталя.............47

§9. Многочлен Тейлора функции одной переменной

и его применение……………………………………………………54

§ 10. Исследование поведения функции с помощью многочлена Тейлора…………………………………………….... ..60

§11. Направление выпуклости графика функции…………...........61

§12. Асимптоты графика функции и их нахождение…………….74

§13. Порядок полного исследования функции и построения ее графика………………………………………........78

Приложение ………………………………………………………....81

Библиографический список …......................................................... 95

96