Учебное пособие 1758

Правило нахождения интервалов возрастания и убывания ку- сочно-элементарной функции и определения ее точек экстремума.

1.Находим область определения кусочно-элементарной функции.

2.Находим производную и с ее помощью находим критические точки функции.

3.Наносим критические точки на область определения функции и тем самым разбиваем ее на интервалы знакопостоянства производной.

Рис 5.1

31

4.По знаку производной в некоторой точке каждого интервала определяем знак производной на всем интервале.

5.По знакам производной на интервалах определяем промежутки возрастания и убывания самой функции.

6.В результате точки экстремума функции могут находиться только среди ее критических точек. При этом, так как каждая критическая точка изолирована, то на некоторых интервалах слева и справа от нее критических точек нет и, значит, левее и правее критической точки производная не меняет свой знак. В результате становятся очевидны и точки экстремума.

Аименно, если при переходе через критическую точку слева направо производная меняет свой знак с плюса на минус, то это точка максимума; если с минуса на плюс, то это точка минимума; если производная не меняет свой знак при переходе через критическую точку, то в этой точке экстремума нет.

§6. Дифференцирование функции, заданной неявно

ипараметрически. Производная обратной функции

Если функция задана формулой, то говорят, что она задана явно. Кроме такого, существуют и другие способы задания функции. Например, табличный, графический или алгоритмический. В этом разделе мы рассмотрим проблему вычисления производной для функции, заданной неявно и параметрически.

Как известно, функциональную зависимость переменных x,y

можно задать не только формулой y =f (x) (явно), но и уравнением

F(x,y) =0 (неявно). А именно, значением функции y в точке x

считается корень (один из корней) уравнения F(x,y) =0 с одним неизвестным y. То есть, для всех x из области D определения функции y =y(x) справедливо тождествоF(x,y(x)) ≡0.

32

Покажем процедуру нахождения производной функции, задан-

ной неявно, на примере уравнения x2 y2 4. Согласно определе-

нию имеем y(1) 3, y(2) 2, y(0) 2. (Мы выбрали одну из функций, определяемых неявно уравнением x2 y2 4, которая принимает лишь неотрицательные значения y при всех допусти-

мых x). Для нахождения производной y'(x) воспользуемся тожде-

ством x2 (y(x))2 4. Так как производные равных функций, оче-

видно, равны, то (x2 (y(x))2)' (4)', и, применяя правила нахож-

дения производной суммы и производной сложной функции, получаем

(x2)' ((y(x))2)' 2x 2y(x)y'(x) (4)' 0.

Таким образом, для нахождения производной функции y'(x) мы имеем тождество x y(x)y'(x) 0. Выражая отсюда y'(x) получаем

Полученный результат можно проверить, разрешив исходное урав-

нение x2 y2 4 относительно y (то есть выражая из уравнения y

через x). Имеем y y(x) 4 x2 . Откуда, применяя правила нахождения производной сложной функции, производной разности и таблицу производных, получаем:

Что и требовалось доказать.

33

В качестве еще одного применения правила нахождения производной сложной функции рассмотрим вопрос о производной обратной функции.

Заменяя букву y на букву x, получаем формулу

34

Проверим, заодно, формулу 1 таблицы производных. Пусть

x 0, y(x) xa ealnx .

Тогда, применяя правило нахождения производной сложной функции, получаем

Все случаи применимости первой формулы доказаны.

Задача 6.1. Проверьте остальные формулы таблицы производных, используя уже доказанные формулы и правила дифференцирования.

35

Случай параметрического задания функции

Данный способ задания функции y y(x) есть на самом деле по-

бочный продукт параметрического задания кривой

когда кривая лежит на координатной плоскости и локально является графиком некоторой функции. Это бывает, например, тогда, когда функция x (t) строго монотонна на некотором интервале и,

значит, локально обратима.

В этом способе определения функции по заданному x сначала находится t , для которого (t ) x, после чего y(x) полагается равным (t ). Таким образом, связь аргумента с функцией осу-

ществляется через промежуточную переменную (параметр) t.

Теорема 6.1. Пусть для всех t из некоторой окрестности ( , ) точки t0 существуют производные (t), (t) и (t) 0. То-

гда функция y y(x), заданная системой (6.1), определена и диф-

ференцируема в окрестности точки x0 (t0), а ее производная может быть задана параметрически следующей системой формул

x (t)

Доказательство. Согласно лемме 5.1 производная (t)не меняет знак на интервале ( , ). Следовательно, (t) строго монотонна на этом интервале и, значит, обратима. Пусть t (x) - ее обратная функция. Тогда по определению функции, заданной параметрически,

y y(x) ( (x)), x ( ( ), ( )).

36

Отсюда, применяя правила дифференцирования сложной функции и обратной функции, получаем

где t и x связаны соотношением x (t).

Теорема доказана.

Так как первая производная оказалась заданной тоже параметрически системой (6.2), то, предполагая, что функции (t) и (t)

дважды дифференцируемы на интервале ( , ), получаем из этой

системы правило нахождения второй производной :

Пример 6.1. Рассмотрим следующую функцию, заданную параметрически:

x 2cost

, 0 t .

y 2sint

Так как x2 y2 4cos2 t 4sin2 t 4, а y 0 при 0 t , то стано-

вится понятно, что график нашей функции есть верхняя половина окружности радиуса 2 с центром в начале системы координат.

Найдем y'(x) при x 2. Решая уравнение 2 2cost получаем значение t 4, при котором надо применять формулу (6.2):

37

Приводимые в параграфах § 7, § 8 результаты предназначены для студентов, ценящих красоту и строгость математических рассуждений. Для остальных советуем запомнить только форму-

лу конечных приращений Лагранжа и правило Лопиталя рас-

крытия неопределенностей вида 0 и .

0

Всюду ниже U(x0) означает некоторую малую окрестность (c,d) точки x0 .

Определение 7.1. Если функция имеет в некоторой точке конечную или определённого знака бесконечную производную, то говорят, что функция имеет в этой точке производную в широком смысле.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 7.1. (Ферма). Если функция определена в некоторой окрестности точки x0 , принимает в этой точке наибольшее

(наименьшее) в рассматриваемой окрестности значение и имеет в точке x0 производную в широком смысле, то эта производная рав-

на нулю.

38

и

Случай наименьшего в точке x0 значения рассматривается ана-

логично.

Теорема доказана.

широком смысле и принимает равные значения на концах отрезка

Доказательство. Из второй теоремы Вейерштрасса следует, что на отрезке [a ; b] существуют точки, в которых функция f (x) при-

няется неравенство m f (x) M .

Возможны два случая.

39

и теорема доказана.

Пусть теперь m M . Поскольку f (a) f (b), то хотя бы одно из значений m или M функция принимает во внутренней точке промежутка [a ; b]. Из теоремы Ферма следует, что f ( ) 0, и тео-

рема доказана и в этом случае.

Геометрическая иллюстрация теоремы Ролля приведена на рис. 7.1 – касательная в точке ( ; f ( )) параллельна оси O x.

y

f ( ) 0

y f (x)

x

Ри. с. 7.1

40