Учебное пособие 1758

Доказательство. Заметим сначала, что если функции y1 (x) и y2 (x) определены в некоторой окрестности точки x0 и y1 (x0 ) ,

y2 (x0 ) c, c R, то (y1 y2 ) (x0 ) . Введём теперь в рассмотрение на отрезке [a; b] функцию

F(x) f (x) f (a) f (b) f (a) (x a) b a

и покажем, что она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Действительно, функция F(x) непрерывна на отрезке [a ; b], имеет в каждой точке интервала (a ; b) производную в широком смысле,

причём F(a) 0, F(b) 0, т.е. F(a) F(b). Поэтому существует точка (a ; b) такая, что F ( ) 0. Но тогда

точке ( ; f ( )) параллельна хорде, проходящей через точки (a; f (a))

и (b; f (b))

Формула (7.3) называется формулой конечных приращений Лагранжа.

Замечание 7.1. Отметим, что формула (7.3) верна и в том случае, когда a b. Действительно, в этом случае, по уже доказанному,

найдётся точка (b;a) такая, что будет верно равенство

41

42

где 0 1.

Заметим, что формула (7.5) верна и в случае, когда a b.

где 0 1.

Легко видеть, что данная формула верна и для x 0.

Следствие 7.1 (Основная лемма интегрального исчисления). Ес-

ли функция f (x) непрерывна на отрезке и во всех его внутренних точках имеет производную, равную 0, то f (x) постоянна на этом

отрезке.

Доказательство. Пусть f (x) непрерывна на отрезке [a ; b] и пусть f ( ) 0 для любой точки (a ; b). Фиксируем произвольную точку x0 (a ; b] и применим к сужению функции f (x) на отрезок

[a ; x0 ] теорему Лагранжа. В силу этой теоремы найдётся точка

(a ; x0) такая, что будет верно равенство

43

Возрастание и убывание функции на интервале. Связь со знаком производной

Напомним, что функция называется строго возрастающей (убывающей) на интервале (a,b), a b , если большему

значению аргумента соответствует строго большее (соответственно, меньшее) значение функции.

Аналогично определяется понятие неубывающей (невозрастающей) функции, значение которой от большего аргумента не меньше (не больше) чем от меньшего.

Теорема 7.4. (Связь возрастания и убывания функции со знаком ее производной)

Пусть во всех точках интервале (a,b) функция y y(x) име-

ет производную y'(x).

Тогда, если функция не убывает (не возрастает) на этом интервале, то ее производная на всем интервале больше или равна нулю (соответственно, меньше или равна нулю).

Наоборот, если производная на всем интервале (a,b) неотри-

цательна (неположительна), то сама функция на всем интервале не убывает (не возрастает). При этом если производная строго отрицательна (строго положительна) на некотором интервале ( , ), , то сама функция строго убывает (строго возрас-

тает) на этом интервале.

Доказательство. Пусть x (a,b) произвольная точка и пусть

0 x b x. Тогда y y(x x) y(x) строго положительно, ес-

44

ли y(x) строго возрастает (неотрицательно, если y(x) не убывает).

Отсюда

y 0 и, переходя в этом неравенстве к пределу, получаем

x

y'(x) lim y 0.

x 0 x

Случай убывающей функции сводится к предыдущему умножением функции на (-1). Первое утверждение теоремы доказано.

Для доказательства второго утверждения возьмем две произвольные точки a b. По теореме Лагранжа найдется такая точка c , что

y( ) y( ) y (c)( )

причем последнее произведение строго положительно (строго от-

и выполняется условие

3 ) g (x) 0 во всех точках x (a ; b),

то существует такая точка (a ; b), что верно равенство

45

Доказательство. Заметим сначала, что g(b) g(a), поскольку в противном случае по теореме Ролля нашлась бы точка (a ; b)

такая, что g ( ) 0. Введём в рассмотрение на отрезке [a ; b]

функцию

и покажем, что она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Действительно, функция F(x) непрерывна на отрезке [a ; b], диф-

ференцируема на интервале (a ; b), причём

При этом F(a) 0, F(b) 0, т. е. F(a) F(b). В силу теоремы

Ролля существует точка (a ; b) такая, что выполняется условие

F ( ) 0, т. е. условие

Теорема доказана.

46

§ 8 . Раскрытие неопределённостей по правилу Лопиталя

Раскрытие неопределённости вида 0

0

Будем говорить, что частное двух функций f (x) , определённое

g(x)

0

в некоторой проколотой окрестности U(a) точки a, представляет

собой неопределённость вида 0 , если

0

Раскрыть эту неопределённость - это значит вычислить предел

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 8.1. Пусть

1) функции f (x) и g(x) определены в промежутке

(a ; b], a R, b R;

2) выполняются условия lim f (x) 0, lim g(x) 0;

x a x a

3)в промежутке (a ; b] существуют конечные производные f (x)

иg (x), причём g (x) 0 для любого x (a ; b];

47

Тогда в точке a существует предел и у частного f (x) , причём

Доказательство. Доопределим функции f (x) и g(x) в точке a ,

полагая f (a) 0, g(a) 0. Тогда функции f (x) и g(x), определён-

ные уже на отрезке [a ; b], будут непрерывны на этом отрезке. За-

метим, что для x (a ; b] выполнено условие g(x) 0, поскольку,

если предположить, что g(x0) 0 в некоторой точке x0 (a ; b], то по теореме Ролля получим, что найдётся точка (a ; x0 ) такая, что g ( ) 0, чего быть не может. Итак, g(x) 0 только при x a.

Фиксируем произвольную точку x (a ; b] и запишем частное f (x)

g(x)

в виде

f (x) f (x) f (a). g(x) g(x) g(a)

К функциям f (x) и g(x), рассматриваемым на отрезке [a ; x],

применим теорему Коши. В силу этой теоремы на интервале (a ; x)найдётся точка (x) такая, что будет верно равенство

т.е. равенство

48

Заметим, что если x a, то и a, причём a для x (a; b].

Поэтому по теореме о пределе сложной функции получаем, что

Из соотношения (8.1) теперь следует, что частное f (x) имеет пре-

g(x)

Аналогичная теорема справедлива и в том случае, когда частное функций f (x)/g(x) рассматривается на промежутке [ ; a), , a R,

0

или в проколотой окрестности U(a) точки a. Теорема легко распро-

страняется и на тот случай, когда a , или a . Рассмотрим,

например, случай, когда a .

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 8.2. Пусть

1) функции f (x) и g(x) определены на промежутке [c ; );

x g (x)

49

t

Применим к функциям f1(t) и g1(t) теорему 1. Поскольку

то и

lim f1(t) K.

t 0 g1(t)

Заметим, что

50