Учебное пособие 1758

направо приращение функции y y(x) y(x0) непременно меняет свой знак.

Доказательство правил дифференцирования 6 и 7

Доказательство первых пяти правил совершенно элементарно и следует непосредственно из определения 1.1.

Более трудным оказывается доказательство правила 7.

Итак, пусть у внутренней функция z g(x) существует произ-

вместе с x x x0. Составим отношение

y f (g(x)) f (g(x0)) f (z) f (z0) ( f (z) f (z0))(z z0 ).

пределу f '(z0), будет ограничена. А именно, существуют 0 и

21

будет также равно нулю. Теперь для доказательства (3.2) остается показать, что для любого как угодно малого 0 справедливо не-

равенство y при любом достаточно малом x 0.

x

по модулю не превосходит , если x выбрано настолько малым,

что соответствующее z и, одновременно, z .

x M

няя ― V(x). Производная внешней функции по формуле 1 таблицы

производных имеет вид (x 1) 1x 2 1 . Поэтому, применяя x2

правило 7 нахождения производной сложной функции, получаем

Отсюда легко следует доказательство правила 6 путем сведением его к правилу 5:

22

§4. Дифференциал функции в точке и его применение

Из формулы (2.3)

y f (x) f (x0) f '(x0) x ( x) x.

видно, что приращение y складывается из двух частей. Первая часть f '(x0 ) x есть произведение константы f '(x0 ) на прираще-

ние аргумента, а вторая часть ( x) x есть произведение двух пе-

ременных, причем обе стремятся к нулю при x 0.

Таким образом, первое слагаемое f '(x0 ) x есть простейшая

― линейная относительно x часть приращения y, которая при f (x0) 0 и малом x велика по сравнению с ( x) x. То есть f '(x0 ) x в этом случае представляет собой основную часть при-

ращения y.

Определение 4.1. (Определение дифференциала функции в точке)

Часть приращения функции, равная произведению производной f (x0) на приращение аргумента, называется дифференциалом

функции y f (x) в точке x0 и обозначаетcя dy(x0) или df (x0):

Понятие дифференциала, как и сама производная, играет важную роль во всей теории.

23

В частности, если функция совпадает с независимой переменной, то ее дифференциал dx x, ибо x' 1. Это позволяет переписать формулу вычисления дифференциала в иной, более общей форме

Здесь dx полагается равным x, если x - независимая переменная, и dx x'(t)dt, если x x(t) - зависимая переменная.

Из сказанного выше следует, что при f (x0) 0 и малом x

дифференциал dy(x0) есть главная и простейшая --- линейная часть приращения y функции. То есть

x 0 dy(x0)

Это, между прочим, оправдывает замену y на dy(x0 ) при вычис-

лении пределов. Так, например, замена

вполне корректна. В то время как распространенное в литературе

нахождения производной простым делением без предельного перехода, а как символическую запись формулы (4.3) или просто как другое обозначение производной, весьма распространенное в ли-

тературе.

24

Применение дифференциала для приближенного вычисления значений функции

Пусть f '(x0) 0. Выразим из равенства (4.2) f (x) через все остальные величины и отбросим второстепенное, по сравнению с

Полагая здесь x x1, получаем, что значение функции f (x1) в но-

вой точке x1 приближенно равно сумме значений функции в старой точке x0 и дифференциала функции в старой точке x0:

x x1 x0 мало. Эта формула оказывается удобна тогда, когда вы-

числять значение функции непосредственно в самой точке x1 труд-

но, а значения f (x0) и f '(x0) в другой ― близкой к x1 точке x0 вы-

числяются легко.

При этом, применяя формулу (4.5) на практике, необходимо ответить на два вопроса:

а) какую функцию выбрать в качестве f (x) и

б) какую точку взять в качестве x0?

Пример 4.1. Требуется найти приближенное значение 37.

25

x x1 x0 7 8 1, f (x0) 38 2. Так как, согласно формуле

Окончательно, по формуле (4.5) 7 2 1/12·( 1) 23/12 1.9166.

Точное значение 37 1,91293.... То есть, погрешность вычислений не превосходит 0,004.

§5. Точки экстремума функции и их отыскание

Напомним, что точка x из некоторого множества на числовой оси называется внутренней точкой этого множества, если она входит в него вместе с некоторым открытым интервалом (a,b) x. Та-

кой интервал называется окрестностью точки x. Например, для множества [c,d] внутренними являются все точки интервала (c,d).

Концевые точки c,d внутренними не являются. Они называются граничными точками отрезка [c,d].

Определение 5.1. Внутренняя точка x0 области определения функции y y(x) называется точкой ее (локального) максимума,

если для всех xиз некоторой окрестности точки x0, x x0 , выпол-

няется неравенство y(x) y(x0), или (что, то же самое) для всех достаточно малых x приращение y y(x0 x) y(x0) прини-

мает только отрицательные значения.

Определение 5.2. Внутренняя точка x0 области определе-

ния функции y y(x) называется точкой (локального) минимума,

если для всех xиз некоторой окрестности точки x0, x x0 , выпол-

няется неравенство y(x) y(x0), или (что, то же самое) для всех

26

достаточно малых xприращение y y(x0 x) y(x0) принима-

ет только положительные значения.

Замечание 5.1. Если быть точными, то в определениях 5.1 и 5.2 определены точки «строгого максимума» и «строгого минимума».

Если в приведенных выше определениях заменить знак < и > соответственно на ≤ и ≥ , то получится определение точек «нестрогого максимума» и «нестрогого минимума», для которых y может принимать соответственно только «неполо-

жительные» и только «неотрицательные» значения.

Определение 5.3. Точки максимума и минимума функции называются ее точками экстремума (строгого или нестрогого).

Ясно, что точек нестрогого экстремума, вообще говоря, больше, чем строгого.

Замечание 5.2. Подчеркнем, что независимо от того, является ли точка экстремума «строгой» или «нестрогой», во всех случаях у этой точки существует окрестность (a,b), в которой при-

ращение функции y не меняет свой знак.

Определение 5.4. Функция y y(x) называется «возраста-

ющей в точке x0 », если для всех достаточно малых положи-

тельных x приращение y y(x0 x) y(x0) положительно, а

Определение 5.5. Функция y y(x) называется «убывающей

в точке x0 », если для всех достаточно малых положительных x

приращение y y(x0 x) y(x0) отрицательно, а для всех до-

статочно малых отрицательных x приращение

y y(x0 x) y(x0) положительно.

27

Так как производная функции в точке есть мгновенная скорость ее изменения, то естественно ожидать, что когда производная функции в точке положительна, функция в этой точке возрастает, а когда производная функции в точке отрицательна, функция в этой точке убывает. Следующая теорема подтверждает это предположение.

Теорема 5.1. Для того чтобы внутренняя точка области определения дифференцируемой функции y y(x) была точкой экстре-

мума (строгого или нестрогого) необходимо (но не достаточно), чтобы производная в этой точке равнялась нулю.

Доказательство. Предположим противное: в точке x0 есть экстре-

мум, но производная существует и не равна нулю. Тогда согласно определениям 5.1, 5.2, 5.3 и замечанию 5.2 для всех точек x из некоторой окрестности (a,b) точки x0, соответствующее приращение

y y(x) y(x0) не меняет свой знак. Однако, согласно следствию

3.1 теоремы 3.1, если производная существует и не равна нулю, то для всех точек x, достаточно близких к точкеx0, знак приращения

y y(x) y(x0) меняется в зависимости от того, где расположена точка x―левее или правее самой точки x0. Противоречие.

Теорема доказана.

Определение 5.6. Внутренняя точка области определения называется критической точкой самой функции, если ее производная в этой точке равна нулю или не существует. При этом точка, в которой существует бесконечная производная определенного знака, критической не является.

Из всего сказанного следует, что:

точки экстремума функции могут быть только среди ее критических точек. Но не во всякой критической точке обязательно есть экстремум.

28

Пример 5.1. Хорошо известно, что функция y x3 возрастает на всей числовой оси (значение функции от большего аргумента больше, а от меньшего меньше). Следовательно, у нее нет точек максимума и минимума. Однако в нуле у нее есть критическая точ-

ка, так как в этой точке ее производная y' 3x2 обращается в нуль.

Естественно возникает вопрос, как проверять критические точки на наличие экстремума? Какие условия являются достаточными для существования экстремума в критической точке? В полной общности получить ответ на эти вопросы достаточно сложно. Поэтому мы ограничим класс рассматриваемых функций так, чтобы ответ на поставленные вопросы можно было дать в обозримой и замкнутой форме, и чтобы этот ответ был применим для большинства задач, встречающихся на практике.

Определение 5.7. Функцию будем называть кусочноэлементарной, если ее область определения состоит из совокупности интервалов, полуинтервалов или отрезков, а производная существует и не равняется нулю в области определения всюду за исключением некоторых изолированных внутренних (критических) точек, множество которых не содержит точек сгущения.

Иными словами множество критических точек такой функции или пусто, или конечно, или бесконечно, но не содержит точек сгущения (то есть таких точек из области определения, каждая окрестность которых содержит бесконечно много критических точек).

Можно доказать, что все элементарные функции (за исключением констант) удовлетворяют этому определению и, следовательно, являются кусочно-элементарными. Производная константы равна нулю всюду. Поэтому ее критическими точками будут все точки из целого интервала, что нарушает требование их изолированности, наложенное определением 5.7.

Пусть мы имеем дело именно с кусочно-элементарной функцией. Нанесем все критические точки функции на область ее определения. Тогда они разобьют область определения на совокупность

29

интервалов, в каждом из которых производная существует и не равна нулю.

Теорема 5.2. Если на некотором интервале производная везде существует и не обращается в нуль, то на таком интервале она не меняет свой знак.

Лемма 5.1. (Дарбу). Если производная определена во всех точках отрезка [a,b] и на его концах принимает значения разных знаков, то она обращается в нуль в некоторой точке a c b.

Доказательство. Дифференцируемая всюду на отрезке функция будет также всюду и непрерывна. Тогда, согласно теореме Вейерштрасса, непрерывная на отрезке функция достигает свои наибольшее и наименьшее значения в некоторых точках cи d, соответственно.

Пусть для определенности y'(a) 0 и y'(b) 0. Тогда, по до-

казанному в теореме 3.1, функция «в точке a убывает», а «в точке b возрастает» в смысле определений 5.4 и 5.5. Следовательно, в этих точках она не может принимать свое наименьшее на отрезке [a,b] значение, и, значит, a d b. Таким образом, d есть точка минимума и по теореме 5.1 y'(d) 0.

Лемма доказана.

Доказательство теоремы 5.2. По предположению производная существует во всех точках интервала и не обращается там в нуль. Значит, по лемме Дарбу она не может менять знак внутри интервала.

Теорема доказана.

Теорема 5.3. Если на интервале производная всюду положительна (отрицательна), то сама функция на таком интервале строго возрастает (строго убывает).

Доказательство теоремы очевидно из физического смысла производной. В результате мы получаем следующее

30