Учебное пособие 1758

Таким образом, обычная мгновенная скорость V(t0) движу-

щейся точки оказывается равна S'(t0) ― значению производной в точке t0 функции S(t), задающей закон движения этой точки.

Геометрический смысл производной функции в точке

нию производной функции в точке мы получаем, что угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке (x0,y(x0)), равен значению производной функции в точке x0 :

kкасат y'(x0).

В этом заключается геометрический смысл производной функции в точке.

Вспоминая вид уравнения прямой, которая проходит через заданную точку и имеет заданный угловой коэффициент, получаем уравнение касательной к графику в точке (x0,y(x0)):

В свою очередь, уравнение нормали к графику в той же точке

(x0, y(x0)) будет

если y'(x0) 0, и уравнение x x0, если y'(x0) 0 (горизонтальная касательная и вертикальная нормаль).

11

Односторонние производные

Определение 2.2. Предел

Производные слева и справа называются односторонними производными.

Из свойств пределов следует, что производная функции f (x) в

точке x0 существует тогда и только тогда, когда в этой точке суще-

Отметим, что под производной функции в граничной точке промежутка понимают соответствующую одностороннюю производную. Так, если функция f (x) рассматривается на отрезке [a; b], то под производной в точке a понимается правая производная, а под производной в точке b левая производная.

12

Производные высших порядков

Если у функции y y(x) ее производная y'(x) определена для всех x из некоторой окрестности точки x0 , то можно говорить о производной функции y' y'(x) в точке x0 . Ее называют второй производной функции в точке x0 и обозначаемой y''(x0):

y''(x0) lim y'(x0 x) y (x0) ,

x 0 x

если этот предел существует.

Таким образом, вторая производная есть производная от первой производной. Так как производная есть скорость изменения функции, то вторая производная есть скорость изменения скорости, а значит, ускорение. Например, для случая функции S S(t) из при-

мера 1.1. мгновенное ускорение a(t) в момент времени t будет

равно S ''(t) – второй производной пути по времени. Аналогич-

но определяются другие производные высших порядков: третья производная y''' есть производная от второй производной, четвер-

тая yIV есть производная от третьей и так далее, n-я производная – это производная от n 1-й:

y(n) y(n 1) '.

Отметим, что, как и первая, все остальные производные функции y

в точке x характеризуют поведение функции только вблизи этой точки.

Примеры и способы нахождения производных

Согласно формулам (2.1) и (2.1’), нахождение производной

всякий раз связано с раскрытием неопределенности вида 0, что, 0

как известно, представляет собой непростую задачу. Поэтому будет полезно раз и навсегда вычислить производные хотя бы для основных элементарных функций во всех точках, где они определены.

13

Это будет сделано в приводимой ниже таблице, а пока покажем, как находятся производные для некоторых конкретных функций.

Пример 2.1. Рассмотрим функцию y x2 и найдем ее произ-

водную в произвольной точке x R . Для этого фиксируем произ-

вольную точку x и придадим аргументу функции некоторое при-

ращение x 0. Вычислим соответствующее приращение функции в точке x :

y (x x)2 x2 2x x x2.

Отсюда, по определению производной,

14

lim cos(x x ) cosx получаем, что согласно определению про-

x 0 2

изводной

Так как односторонние производные в точке 0 не совпадают, то обычная производная (обычный предел в формуле (2.1’)) в точке 0 не существует.

Заметим, что функция y | x| непрерывна во всех точках. Этот пример показывает, что непрерывная функция не обязательно дифференцируема.

15

Приведенные примеры показывают, что производная функции y y(x), x D(y), как правило, бывает определена не для одного x0 , а сразу для широкого множества D(y') значений аргумента x.

функции, позволяет вычислять значение производной в точке x0

не с помощью предела (2.1), а с помощью самой формулы, задающей эту новую функцию. Следующая таблица дает готовые формулы для производных основных элементарных функций и открывает возможность нахождения производных для любых функций y f (x), заданных аналитически (формулой).

§3. Таблица производных и правила дифференцирования

Таблица 1

Производные основных элементарных функций f1, f2,..., f15 .

16

В частности, из первой формулы, при a 1, получаем, что x' 1:

x' (x1) 1x1 1 1x0 1

Как известно, функция называется элементарной, если она может быть задана формулой. То есть, записана с помощью констант и основных элементарных функций (перечисленных в предыдущей таблице), конечного числа арифметических действий (сложения, вычитания, умножения и деления) и конечного числа подстановок одной элементарной функции в аргумент другой (суперпозиции функций).

Так как кирпичиками, из которых строятся формулы, являются основные элементарные функции, производные которых известны, возникает гипотеза, что производная любой как угодно сложной элементарной функции тоже может быть выражена через производные основных элементарных функций в виде формулы.

И это действительно так. Но для того, чтобы осуществить данный план нам потребуются следующие правила, которые следует выучить наизусть, произнося их словами.

Правила дифференцирования (правила нахождения производных)

Пусть C ― произвольная константа, а U,V,W ― произвольные дифференцируемые функции одного аргумента. Тогда справедливы правила, которые необходимо выучить наизусть, произнося словами

1.C' 0. Производная константы равна нулю.

2.(U V)' U ' V '. Производная суммы функций равна сумме

их производных.

3.(U V)' U ' V '. Производная разности функций равна раз-

ности их производных.

4. (Cf (x))' C( f (x))'. Постоянный множитель можно выносить

за знак производной.

17

5. (UV)' U 'V UV '. Производная произведения двух функций

равна производной первой функции, умноженной на вторую, плюс первая функция, умноженная на производную второй.

Также справедливо правило

(UVW)' U 'VW UV 'W UVW ', которое очевидным образом рас-

пространяется на произведение любого числа функций.

менателе – квадрат знаменателя, а в числителе – производная числителя, умноженная на знаменатель, минус числитель, умноженный на производную знаменателя.

7. Правило вычисления производной так называемой «сложной функции» f (g(x)) построенной с помощью и подстановки одной

функции в аргумент другой.

Напомним, что при нахождении значения f (g(x)) сложной функции от заданного x сначала вычисляется значение функции z g(x), а потом, от того, что получится, находится значение f (z).

То есть f (g(x)) по определению равно f (z)

Та функция, которая вычисляется последней (в нашем случае

f), называется внешней,

ата функция, которая вычислялась непосредственно перед внеш-

ней (в нашем случае g), называется внутренней.

Справедлива формула

( f (g(x)))' f '(g(x))g'(x)

и следующее правило.

Производная сложной функции равна производной внешней функции, вычисленной от всей внутренней функции, и умноженной на производную внутренней функции.

18

Заметим, что если сложная функция является элементарной (задана формулой), то внешняя функция всегда является основной элементарной. Поэтому ее производная находится по таблице 1,

но при этом ее аргумент x , указанный в таблице 1, должен быть

обязательно заменен на всю внутреннюю функцию.

Для доказательства перечисленных правил нам потребуется более внимательно исследовать поведение приращений функции вблизи точки, в которой у функции существует производная.

Теорема 3.1. Пусть у функции f (x) в точке x0 существует производная f '(x0). Тогда справедливы следующие утверждения:

1) если для некоторой последовательности xk x0, xk x0,

2) наоборот, если f '(x0) 0, то существует интервал (a,b), a x0 b, такой, что для всех x (a,b), x x0, соответствующие приращения y f (x) f (x0) 0;

3)более точно, если f '(x0) 0, то существует такая окрестность (a,b) x0 , что для всех x (a,x0) y f (x) f (x0) 0,

адля всех x (x0,b) y f (x) f (x0) 0;

4)аналогично, если f '(x0) 0, то существует такая окрест-

Доказательство. Применим формулу (2.2):

19

y ( f (x0) ( x)) x ( f (x0) | ( x)|) x 0,5f (x0) x 0.

Аналогично, если x (a,x0),то x 0, и по формуле (3.1)

y ( f (x0) ( x)) x ( f (x0) | ( x)|) x 0,5f (x0) x 0.

функции g(x) уже доказанное утверждение 3), получаем, что для

Следствие 3.1. Если функция y y(x) определена в окрестности некоторой точки x0 , и имеет в этой точке не равную нулю произ-

водную, то при переходе аргумента x через эту точку слева

20