Методическое пособие 340

В прил. 6 приведен конкретный пример выполнения дисперсионного анализа при постановке однофакторного эксперимента.

Контрольные вопросы

1.В чем состоит суть дисперсионного анализа?

2.Что такое дисперсия воспроизводимости?

3.Какие характеристики рассчитываются при выполнении дисперсионного анализа?

4.Что оценивается критерием Кохрена и как он определяется?

5.Что оценивает критерий Фишера и как он рассчитывается?

81

9. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ (ПРЕДСТАВЛЕНИЕ) РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА ПРИ ПОИСКЕ ОПТИМУМА

После выполнения экспериментальных исследований необходимо проанализировать полученные данные и сделать выводы, которые позволили бы улучшить технологический процесс и в конечном итоге повысить его экономическую эффективность.

Если исследуемый процесс представлен в виде математической модели, то ее можно использовать для определения параметров оптимизации при любом наборе значений факторов, действующих на изучаемый процесс.

Удобнее всего результаты эксперимента интерпретировать в следующей последовательности:

-проанализировать коэффициенты уравнения регрессии (математической модели) и их знак;

-дать графический анализ экспериментальных данных;

-произвести канонический (упрощенный) анализ уравнения регрессии;

-выполнить численный анализ полученного уравнения.

9.1. Анализ коэффициентов уравнения регрессии

Полученная математическая модель позволяет сделать ряд выводов. Во-первых, величина коэффициентов уравнения регрессии соответствует вкладу каждого из них в параметр оптимизации, что позволяет осуществить ранжировку степени влияния факторов на изучаемый процесс.

Во-вторых, знаки при факторах («плюс» или «минус») обозначают, что соответственно параметр оптимизации или увеличивается, или уменьшается от воздействия факторов. Знаки при квадратичных членах свидетельствуют о выпуклости или вогнутости изучаемой зависимости, а величина этих коэффициентов – о радиусе этой кривизны. Знаки при эффектах взаимодействия интерпретируются следующим образом: если эффект взаимодействия имеет знак «+», то увеличению параметра оптимизации соответствуют значения обоих факторов на нижних или верхних уровнях; знаку «-» отвечает взаимодействие факторов на разных уровнях.

Оценив эффекты взаимодействия, можно получить сведения о механизме изучаемого процесса, так как наличие того или иного эффекта свидетельствует об определенном взаимном влиянии факторов друг на друга и их комбинированном воздействии на параметр оптимизации.

82

9.2. Графический анализ данных эксперимента

Чтобы выполнить графический анализ полученных данных, надо построить зависимости параметра оптимизации от каждого фактора в отдельности при прочих равных условиях. Для этого, используя полученное уравнение регрессии, вычисляют значения параметра оптимизации при изменении одного фактора в пределах области определения; при этом остальные факторы обычно стабилизируют на нулевом уровне. По графику можно наглядно установить степень влияния каждого фактора на параметр оптимизации и выделить характерные точки (экстремальные значения, точки перегиба и пр.).

Для определения оптимальных значений факторов строятся графики двумерных сечений поверхности отклика, когда на осях абсцисс и ординат откладываются значения факторов, а параметр оптимизации наносится в виде изолиний. Двумерные сечения позволяют достаточно точно определить оптимальную область исследуемого процесса.

Таким образом, графический анализ более всего применим при постановке двухфакторного эксперимента, так как взаимовлияние двух факторов на параметр оптимизации на графике изображается очень наглядно.

9.3. Канонический анализ уравнения регрессии

Целью канонического (упрощенного) анализа уравнения регрессии является нахождение координат оптимума и изучение поверхности отклика в его окрестностях.

В этом случае используют метод канонических преобразований поверхностей второго порядка, при помощи которого находят центр новой системы координат и вычисляют коэффициенты для определения угла поворота осей относительно изучаемой системы. При этом в уравнении регрессии анализируются только коэффициенты второго порядка.

Придавая параметру оптимизации некоторые фиксированные значения, определяют его контурные кривые на графике в координатах двух любых факторов.

По каноническому (упрощенному) уравнению можно установить вид поверхности отклика, а следовательно, произвести ее анализ.

К сожалению, приведение уравнения регрессии к каноническому виду трудоемко и громоздко, это требует специальных математических знаний, особенно если изучается действие трех и более факторов.

83

9.4.Численный метод анализа уравнения регрессии

Вэтом случае экстремум поверхности отклика отыскивается следующим образом. Вычисляют частные производные полученного уравнения рег-

рессии y = f(х1, х2, …, хn) по всем факторам и приравнивают их нулю (это состояние соответствует максимуму функции отклика), то есть имеем:

Затем решают полученную систему уравнений относительно изучаемых факторов х1, х2, …, хn методом последовательного исключения переменных. Величины этих значений и будут координатами стационарной точки, принимаемой за оптимум.

Контрольные вопросы

1.Каким образом производится интерпретация результатов экспериментальных исследований математической модели при поиске оптимума?

2.О чем свидетельствуют величины коэффициентов уравнения регрессии и их знаки?

3.Как осуществляется графически анализ результатов эксперимента?

4.В чем состоит сущность численного метода анализа уравнения рег-

рессии?

84

Эксперимент закончен.

Да здравствует эксперимент! Ю.П. Адлер

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Уважаемый студент! Вот и закончился трудный этап освоения учебной дисциплины «Планирование и организация эксперимента», в ходе которого Вам пришлось неоднократно «штудировать» не всегда легко воспринимаемые положения изложенного в учебном пособии лекционного курса, а также выполнить непростые лабораторные и научные исследования. На финише этого нелегкого пути можно оценить, чем же обогатились, благодаря данному курсу, Ваши знания и умения. Для этого сравним Ваши представления по изученным вопросам с теми идеями, которые были заложены в курсе преподаваемой дисциплины авторами данного учебного пособия. В кратком изложении они сводятся к следующему.

1.Строительно-технологические задачи – это многофакторные, сложные задачи, не всегда решаемые относительно простыми традиционными методами.

2.Наибольшего эффекта при решении сложных строительнотехнологических задач можно добиться, используя научные методы планирования многофакторных экстремальных экспериментов.

3.Итогом многофакторного экстремального эксперимента является математическая модель, исследование которой позволяет получить оптимальное решение относительно исследуемого строительного объекта.

4.Специалистами в области математического планирования экспериментов разработано достаточное число эффективных путей поиска оптимума (в учебном пособии представлены в доступной и относительно краткой форме лишь некоторые из них).

Должно быть очевидным, что если Вам удалось усвоить идеологию этих методов, то Вам будут по плечу и другие методы, если в этом возникнет необходимость. Для этого можно воспользоваться соответствующими информационными источниками.

Итак, если Вы хотя бы внутренне разделяете важность изложенных положений и готовы работать в направлении их практического применения, то можете с уверенностью считать, что основное Вы уже получили.

И еще. В полной мере овладев основами математической теории планирования эксперимента, Вы можете почувствовать себя гениальным, так как «если гениальность – это не более чем использование методов, то должны быть и методы их использования» (С. Джонсон, 1784 г.).

85

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Адлер, Ю.П. Введение в планирование эксперимента / Ю.П. Адлер. – М.: Металлургия, 1969. – 158 с.

2.Адлер, Ю.П. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий / Ю.П. Адлер, Е.В. Маркова, Ю.В. Грановский. – М.: Наука, 1976. – 278 с.

3.Адлер, Ю.П. Предпланирование экспериментов / Ю.П. Адлер. – М.:

Знание, 1978. – 72 с.

4.Ахназарова, С.Л. Оптимизация эксперимента в химии и химической технологии / С.Л. Ахназарова, В.В. Кафаров. – М.: Высш. школа, 1978. – 318 с.

5.Бояринов, А.И. Методы оптимизации в химической технологии / А.И. Бояринов, В.В. Кафаров. – М.: Химия, 1969. – 574 с.

6.Бондарь, А.Г. Планирование эксперимента в химической технологии

/А.Г. Бондарь, Г.А. Статюха. – Киев: Высш. школа. Головное изд-во, 1976. – 183 с.

7.Бродский, В.З. Введение в факторное планирование эксперимента / В.З. Бродский. – М.: Наука, 1976. – 223 с.

8.Барабащук, В.И. Планирование эксперимента в технике / В.И. Барабащук, Б.П. Креденцер, В.И. Мирошниченко / под ред. Б.П. Крединцера. –

Киев: Технiка, 1984. – 200 с.

9.Вознесенский, В.А. Математическая теория эксперимента и управление качеством композиционных материалов / В.А. Вознесенский. – Киев: Обво «Знание УССР», 1979. – 198 с.

10.Винарский, М.С. Планирование эксперимента в технологических исследованиях / М.С. Винарский, М.В. Лурье. – М.: Технiка, 1975. – 168 с.

11.ГОСТ 24026 Исследовательские испытания. Планирование эксперимента. Термины и определения – М.: Изд-во стандартов, 1980. – 10 с.

12.Гимпелевич, В.Е. Теория эксперимента / В.Е. Гимпелевич. – М.: Рикел, Радиосвязь, 1994. – 136 с.

13.Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие для вузов / В.Е. Гмурман. – Изд-е 6-е, стереотип. – М.: Высш.

школа, 2003. – 275 с.

14.Джонсон, Н. Статистика и планирование эксперимента в технике и науке / Н. Джонсон, Ф. Лион; пер. с англ. – М.: Мир, 1981. – 516 с.

15.Дэниел, Н. Применение статистики в промышленном эксперименте

/Н. Дэниел; пер. с англ. – М.: Мир, 1979. – 299 с.

16.Красовский, Г.И. Планирование эксперимента / Г.И. Красовский, Г.Ф. Филаретов. – Минск: Изд-во БГУ, 1982. – 302 с.

17.Ковшов, В.Н. Постановка инженерного эксперимента / В.Н. Ковшов. – Донецк: Высш. школа. Головное изд-во, 1962. – 118 с.

86

18.Лисенков, А.Н. Математические методы планирования многофакторных медико-биологических экспериментов / А.Н. Лисенков. – М.: Меди-

цина, 1979. – 343 с.

19.Монтгомери, Д.К. Планирование эксперимента и анализ данных / Д.К. Монтгомери; пер. с англ. – М.: Мир, 1981. - 220 с.

20.Математические методы для системотехники. Теория планирования эксперимента: учеб. пособие / В.В. Бреннер, Ю.В. Воронов. – Тула, тулПи, 1987. – 100 с.

21.Математические методы планирования эксперимента / Под ред. В.В. Пененко. – Новосибирск, 1981. – 255 с.

22.Рогов, В.А. Методика и практика технических экспериментов: учеб.

пособие / В.А. Рогов, Г.Г. Поздняк. – М.: Academa, 2005. – 228 с.

23.Налимов, В.В. Статистические методы планирования экстремальных экспериментов / В.В. Налимов, Н.А. Черкова. – М.: Наука, 1965. – 430 с.

24.Налимов, В.В. Теория эксперимента / В.В. Налимов. – М.: Наука, 1971. – 208 с.

25.Налимов, В.В. Логические основания планирования эксперимента / В.В. Налимов, Т.И. Голикова. – М.: Металлургия, 1981. – 128 с.

26.Новик, Ф.С. Оптимизация процессов технологии металлов методами планирования экспериментов / Ф.С. Новик, Я.Б. Арсов. – М.: Машиностроение, Серия: Техника, 1980. – 364 с.

27.Нетрадиционные подходы к планированию эксперимента: сб. / под ред. С.М. Ермакова и В.В. Федорова. – М., 1984. – 160 с.

28.Планирование эксперимента в промышленности: учеб. пособие / В.Ф. Папуловский. –М.: Моск. ин-т радиотехники, электроники и автомати-

ки, 1992. – 68 с.

29.Планирование эксперимента в исследованиях технологических процессов; пер. с нем. / под ред. Э.К. Лецкого. – М.: Мир, 1977. - 552 с.

30.Плескунин, В.Н. Теоретические основы планирования эксперимента в научных и инженерных исследованиях / В.Н. Плескунин, Е.Д. Воронина.

–Л.: ЛГУ, 1974. – 50 с.

31.Применение методов математического планирования эксперимента в технологии строительных материалов (обзор) / А.Е. Рохваргер. – ЦНИИ ГЭСТРОМ Мин. пром. стр. матер. СССР, 1969. – 91 с.

32.Рузавин, Г.И. Математизация научного знания / Г.И. Рузавин. – М.:

Мысль, 1984. – 207 с.

33.Рохваргер, А.Е. Математическое планирование научно-технических исследований / А.Е. Рохваргер, А.Ю. Шевляков. – М.: Наука. 1975. – 440 с.

34.Тихомиров, В.Б. Планирование и анализ эксперимента (при проведении исследований в легкой и текстильной промышленности) / В.Б. Тихо-

миров. – М.: Наука, 1967. – 267 с.

35.Уайлд, Д. Дж. Методы поиска экстремума / Д. Дж. Уайлд. – М.:

Наука, 1967. – 267 с.

87

36.Федоров, В.В. Теория оптимального эксперимента / В.В. Федоров. –

М.: Наука, 1971. – 312 с.

37.Финни, Д. Введение в теорию планирования эксперимента / Д. Финни; пер. с англ. / под ред. Ю.В. Линника. – М.: Наука, 1979. – 27 с.

38.Хикс, Ч.Р. Основные принципы планирования эксперимента / Ч.Р.

Хикс. – М.: Мир, 1970. – 406 с.

39.Шенк, Х. Теория инженерного эксперимента / Х. Шенк; пер. с нем.

–М.: Мир, 1972. – 381 с.

40.Ящерицын, П.И. Планирование эксперимента в машиностроении / П.И. Ящерицын, Е.И. Махаринский. – Минск: Высш. школа, - 1985. – 286 с.

88

6. Транспонированной матрицей называется матрица [А*], образуемая из исходной матрицы [А] заменой строк столбцами.

7. Квадратной матрицей порядка n называется матрица, в которой m = n.

Элементы квадратной матрицы, для которых i = j, образуют главную диагональ матрицы.

8.Диагональной квадратной матрицей [А] называется матрица, у кото-

рой все элементы, кроме расположенных на главной диагонали, равны нулю.

9.Диагональная матрица называется единичной [Е], если все элемен-

ты равны единице (аij = 1).

10.Матрицы [А] и [В] считаются равными, если они имеют одинако-

вое число строк (mА = mВ) и столбцов (nА = nВ), а аij = bij (при i = 1, 2, …, m;

j=1, 2, …, n).

11.Определителем или детерминантом квадратной матрицы [А] назы-

вают число А, рассчитанное, например, для n = 2 по формуле

читании i-строки и j-столбца. Миноры, образованные вдоль главной диагонали матрицы [А], называют главными минорами.

90