Методическое пособие 340

4.4.Организация научного эксперимента

иего основные этапы

Основная цель экспериментальных исследований состоит либо в получении новых данных об изучаемом явлении или процессе, либо в выявлении и сравнении влияния различных условий на изучаемый процесс; возможно решение и других задач.

Еще до начала выполнения эксперимента исследователь должен четко знать, что именно предстоит ему изучать, как и каким образом надо получать необходимые данные и как их в дальнейшем анализировать.

Д.К. Монтгомери предложил схему выполнения экспериментальных исследований, которую он оценивал как оптимальную. Эта схема состоит из следующих семи основных этапов.

Первый этап – признание факта существования задачи исследования,

ее формулировка. Это означает, что есть определенная проблема, которую надо решить, и поэтому требуется выполнить экспериментальные исследования. Желательно, чтобы стоящая задача была сформулирована четко, ясно и обстоятельно. Необходимо для себя уточнить представления о целях эксперимента для того, чтобы лучше понимать то явление или процесс, который надо изучить, а также условия решения этой задачи.

Второй этап – выбор факторов и их значений (уровней). Факторы должны иметь область определения, внутри которой задаются их конкретные значения (уровни). Факторы бывают не только количественными, но и качественными (под количественными понимаются те факторы, которые можно измерять, взвешивать и т.д., а качественные факторы – это различные виды веществ, технологические способы, приборы, исполнители и т.д.). Хотя к качественным факторам не применима обычная числовая шкала, при планировании эксперимента к ним можно применять условную порядковую шкалу в соответствии с их уровнями, то есть производить так называемое кодирование факторов. Порядок уровней факторов обычно произволен, но после кодирования он должен быть строго фиксированным.

Третий этап – выбор зависимой переменой – отклика. Здесь надо ре-

шить вопрос, действительно ли отклик (или критерий оптимизации при решении оптимизационных задач) содержит необходимую информацию об изучаемой проблеме (объекте исследования, явлении или процессе). Надо также знать, как будет измеряться величина отклика и какова вероятностная точность этих измерений.

Четвертый этап – выбор плана эксперимента. План эксперимента – это экспериментальные точки изучаемого факторного пространства и последовательность выполнения экспериментов в этих точках; в этом смысле планирование – выбор экспериментальных точек и стратегия их последовательного использования. На этом этапе следует оценить величину риска, на который можно пойти для того, чтобы определить объем выборки (число реплик), за-

31

дать величину отличия экспериментально полученного значения отклика от его истинного значения, оценить затраты на эксперимент.

Особенно важным на этом этапе является выбор математической модели, с помощью которой будут представляться экспериментальные данные. Как было отмечено, среди существующих моделей в последнее время лидирующее положение занимают полиномиальные модели, описывающие взаимосвязи между входными и выходными переменными. Обычно при решении оптимизационных задач вначале принято использовать полином первой степени (линейная модель), а затем для описания области оптимума – полином второй (квадратичная модель) или более высоких степеней.

Пятый этап – проведение эксперимента. На этом этапе необходимо соблюдать правило, чтобы все опыты выполнялись строго в соответствии с уже выбранным планом. Прежде всего, требуется соблюдать принцип рандомизации и создать условия для обеспечения однородности выполнения экспериментов, а также контролировать соответствие точности измерений заданной величине.

Шестой этап – анализ полученных данных. Имеется в виду проведение

дисперсионного анализа, позволяющего оценить равноточность измерений,

определить оценки коэффициентов уравнения регрессии и их значимость, адекватность полученной математической модели. На этом этапе полезно также пользоваться графическими методами представления результатов эксперимента.

Седьмой этап – выводы и предложения. В выводах надо дать физическую интерпретацию полученных данных. Требуется также оценить практическое значение результатов, необходимость и возможность проведения дальнейших исследований, так как известно, что научные результаты обладают свойством итерации, когда поставленный эксперимент, решая определенную проблему, одновременно выдвигает новые задачи.

Такова в общих чертах современная парадигма экспериментальных исследований (под парадигмой понимается система правил научной деятельности), которая должна стать «путеводной звездой» для начинающего исследователя.

Как показывает исторический экскурс, до появления математической теории эксперимента не существовало каких-либо единых правил того, как планировать и организовывать эксперимент, как «обрабатывать» его результаты. Теперь можно сказать, что такие правила есть, хотя надо признать, что в области экспериментальных исследований существующая ныне парадигма является далеко не первой и единственной. Ей долгие годы предшествовала парадигма так называемого «чистого» однофакторного эксперимента. И сегодня еще немало исследований выполняется по старинке методом проб и ошибок, при котором, по сути, многофакторные эксперименты сводятся к однофакторным, хотя уже давно с развитием вычислительной техники и с насущной необходимостью рассмотрения сложных многофакторных объек-

32

тов парадигма однофакторного эксперимента уступила место современным научным подходам. По этому поводу известно следующее высказывание: «Тот факт, что в течение столетий могли принимать такую догму, как «изменяйте факторы по одному», показывает, что ученые занимались в основном исследованием систем, допускающих этот метод, ибо в сложных системах он часто не применим по существу» (У. Р. Эшби).

Контрольные вопросы

1.Каковы два подхода к изучению сложных систем и в чем их сущ-

ность?

2.Какие существуют модели для описания сложных систем?

3.Что такое «полиномиальная модель»?

4.Что такое «планирование эксперимента» (определение В.В. Налимо-

ва)?

5.Какие концепции (принципы) лежат в основе математической теории планирования эксперимента?

6.Что такое концепция рандомизации и в чем ее смысл?

7.Что такое концепция репликации?

8.Каков смысл концепции последовательного выполнения экспери-

мента?

9.В чем сущность концепции оптимального использования «факторного пространства»?

10.Каковы этапы научного подхода к выполнению экспериментальных исследований?

11.Что такое план эксперимента и что такое планирование экспери-

мента?

12.В чем состоит выбор математической модели?

13.Что такое факторы и каковы требования, предъявляемые к ним?

14.Что такое «кодирование» факторов?

15.Что такое отклик или критерий оптимизации?

16.Какие виды параметров оптимизации вы знаете?

17.Каковы требования, предъявляемые к параметру оптимизации?

18.Что такое функция отклика и каков ее вид?

19.Что такое поверхность отклика, каков ее геометрический образ, когда число факторов равно двум?

20.Что означает выражение «Выбрать вид функции отклика»?

33

Варианты тестовых заданий

5. ПОСТРОЕНИЕ ПЛАНОВ МНОГОФАКТОРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

5.1. Подготовка исходных данных

Начальным этапом построения планов многофакторных экспериментов является выбор локальной области факторного пространства. Для этого необходимо оценить границы областей определения факторов. При этом должны учитываться некоторые ограничения, которые сводятся к следующему. Первый тип ограничений имеет принципиальный характер, когда значения факторов не могут быть нарушены ни при каких условиях. Второй тип ограничений связан с технико-экономическими соображениями, например, с дефицитностью компонентов смеси, длительностью проведения эксперимента и т.д. Третий тип ограничений, с которым чаще всего приходится сталкиваться на практике, зависит от конкретных условий постановки эксперимента, например, от возможностей используемого оборудования, принятой технологии производства, организации изучаемого процесса и т.д.

Затем необходимо тщательно проанализировать априорную информацию, которая необходима для получения более полного представления о выходной переменной (отклике), факторах, влияющих на нее, о наилучших условиях проведения опытов, характере поверхности отклика и т. п. Для этого могут быть использованы результаты ранее выполненных однофакторных экспериментов или литературные данные по изучаемому вопросу.

На основе анализа априорной информации производится выбор уровней варьирования изучаемых факторов, который начинается с определения так называемого основного (нулевого) уровня – точки в многомерном факторном пространстве (Хi0), которая рассматривается как исходная для построения плана эксперимента. Она соответствует наилучшим условиям, полученным на основе той информации, которой уже располагает исследователь, то есть эта точка представляет в данный момент времени наибольший интерес (она еще называется центром области планирования или центром эксперимента, в окрестностях которой располагаются все остальные экспериментальные точки плана).

Координаты основного (нулевого) уровня изучаемого фактора Хi0 выбираются с помощью соотношения

где Хimax - верхний уровень изучаемого фактора; Хimin - нижний уровень этого же фактора.

36

Обычно за верхний уровень принимается тот, который соответствует большему значению фактора, и, наоборот, тот, который соответствует меньшему значению, является нижним уровнем фактора.

Затем определяется так называемый интервал варьирования изучаемых факторов (∆Хi). Интервалом варьирования называется некоторое число (для каждого фактора оно имеет свое значение), прибавление которого к Хi0

дает верхний уровень фактора, а вычитание – нижний уровень, другими словами - это расстояние на координатной оси между основным (нулевым) и верхним (или нижним) уровнями фактора, то есть можно записать:

Хimax = Хi0 +∆Хi , а Хimin = Хi0 −∆Хi .

На выбор интервалов варьирования факторов накладываются определенные ограничения.

Во-первых, интервал варьирования должен значительно превышать величину погрешности определения уровни факторов. В противном случае верхний и нижний уровни окажутся мало различимыми.

Вместе с тем, интервал варьирования не может быть настолько большим, чтобы верхний или нижний уровни оказались за пределами области определения фактора. Однако внутри этих ограничений еще остается значительная неопределенность, которая обычно устраняется с помощью интуитивных соображений при наличии определенного опыта в области планирования эксперимента.

Таким образом, выбор интервалов варьирования для экспериментатора является ответственной задачей, так как эта процедура связана с творческим, неформальным подходом к решению поставленной задачи. Как правило, для этого требуются достаточно высокая квалификация исследователя и опыт экспериментальной работы.

Необходимо учитывать, что на выбор ∆Хi влияет также наличие:

-информации о помехах («шуме»): чем сильнее «шум», тем шире нуж-

но выбирать «шаг» (∆Хi) для того, чтобы обеспечить достаточное отношение «сигнал : шум»;

-информации о степени нелинейности функции отклика: чем больше ожидается, что функция отклика будет отличаться от линейной (или от «сла-

бо нелинейной»), тем меньше должна быть величина ∆Хi.

Поскольку исходная информация, как правило, имеет ограниченный характер и часто является качественной, может появиться необходимость в коррекции значений ∆Хi. Обычно в качестве первоначального варианта рекомендуется выбирать ∆Хi = 0,3 – 0,5 допустимого диапазона изменения фактора. Если есть основания предполагать, что в дальнейшем придется перейти от линейной модели к планированию более высокого порядка, то ∆Хi целесообразно выбрать несколько меньшим по величине, например, ∆Хi = 0,2 – 0,4 допустимого диапазона.

37

Зная Хi0 и ∆Хi, можно реализовать операцию нормализации или коди-

рования факторов, то есть перевода их в стандартизированный масштаб или к безразмерной шкале. Это необходимо сделать для того, чтобы упростить запись представления условий проведения эксперимента с целью построения плана, а также для дальнейшей обработки экспериментальных данных при получении математической модели.

Масштабы кодирования по координатным осям выбираются так, чтобы верхний уровень соответствовал кодированному значению (+1), а нижний – (-1), тогда основному уровню будет соответствовать «0», то есть можно записать:

где хi - кодированное значение фактора; Хi - натуральное значение фактора;

Xio - натуральное значение основного (нулевого) уровня фактора;

∆Хi - интервал варьирования фактора в натуральном значении.

Таким образом, в стандартизированном масштабе начало координат для изучаемых факторов совмещено с центром эксперимента.

5.2. Построение плана полного факторного эксперимента 2k. Матрица планирования и ее свойства

Вначале рассмотрим самый простой случай - планирование многофакторного эксперимента при использовании только двух уровней факторов: верхнего (+1) и нижнего (-1). Ему соответствует линейная полиномиальная математическая модель. Обычно такая модель наиболее часто используется на начальном этапе исследований, когда необходимо определить направление поиска оптимума, если решается оптимизационная задача.

Число опытов N, необходимых для реализации всех возможных сочетаний уровней факторов при постановке полного факторного эксперимента 2k, определяется по формуле

где 2 – число уровней изучаемых факторов (в данном случае);

k– число факторов.

Втом случае, когда речь идет о двух факторах х1 и х2, число опытов будет равно

N =22 =4. (5.4)

Условия эксперимента при построении плана принято записывать в виде специальной таблицы, где строки соответствуют комбинации значений факторов в каждом эксперименте, а столбцы – значениям фактора во всей серии опытов N (при этом пользуются кодированными значениями факторов:

38

«+1» и «-1»). Каждую строку в этой таблице называют вектором-строкой, каждый столбец – вектором-столбцом, а саму таблицу называют планом эксперимента. Если таблица дополнительно содержит еще и результаты эксперимента (отклик – y j ), то она называется матрицей планирования экспери-

мента (прил. 1). В табл. 5.1 представлена матрица планирования эксперимента для двух факторов.

Таблица 5.1

Матрица планирования эксперимента для двух факторов (k = 2)

Существуют специальные правила построения планов (матриц) многофакторного эксперимента. На практике обычно используется два приема, основанные на переходе от планов (матриц) меньшей размерности к планам (матрицам) большей размерности, которые образуются при добавлении каждого нового фактора.

Первый прием состоит в том, что вначале составляется план с добавлением столбца с одним уровнем нового фактора, а затем план повторяется для другого уровня того же фактора. Таким образом, каждая комбинация уровней исходного плана эксперимента при добавлении нового фактора встречается дважды: в сочетании с нижним и верхним уровнями нового фактора.

Такой переход от плана эксперимента 22 к плану 23 представлен в табл. 5.2.

Второй прием основан на правиле чередования знаков: в первом столбце знаки меняются поочередно, во втором – чередуются через два знака, в третьем – через четыре знака, в четвертом – через восемь знаков и т.д.

Существуют и другие приемы, но они более сложные и здесь рассматриваться не будут.

Правильно составленные матрицы планирования эксперимента должны удовлетворять следующим свойствам.

Первое свойство матрицы – симметричность относительно центра эксперимента, то есть той точки Хio , для которой значения в кодированном

39

виде равны «0». Это свойство формулируется так: алгебраическая сумма элементов вектора-столбца каждого фактора равна нулю, то есть

где N - число опытов; i - номер фактора; j - номер опыта.

Таблица 5.2

Матрица планирования эксперимента для трех факторов (k = 3)

Второе свойство матрицы - это так называемое условие нормировки,

которое формулируется следующим образом: сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов N, то есть

Третье свойство касается совокупности столбцов матрицы и является важнейшим. Оно получило название ортогональности матрицы планирования экспериментов и формулируется так: сумма почленных произведений лю-

бых двух векторов-столбцов матрицы равна нулю, то есть можно записать:

Для правильно составленной матрицы должно соблюдаться и четвер-

тое свойство - ротатабельности матрицы планирования. Это означает, что экспериментальные точки в матрице подбираются таким образом, чтобы точность предсказаний расчетных значений выходного параметра - отклика y j была одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента и не зави-

села бы от направления их расположения. Только в том случае, когда матрица планирования эксперимента обладает всеми четырьмя перечисленными

40