Методическое пособие 340

Необходимость использования именно такого вида математической модели обусловливается тем, что планы первого порядка не всегда позволяют обеспечить ее адекватность и, следовательно, требуется усложнить линейную модель путем перехода к планированию более высокого порядка.

Эти планы применяются также тогда, когда экспериментатору уже заранее известно, что объект исследования, по сути, обладает ярко выраженными нелинейными свойствами. Основная сложность таких планов состоит в выборе значений изучаемых факторов таким образом, чтобы получить раздельные (несмешанные) оценки коэффициентов уравнения регрессии, в то время как коэффициенты bii при квадратичных членах оказываются смешанными с коэффициентом b0. Причиной этого является то, что для получения квадратичной модели каждый из факторов варьируется на нескольких уровнях, по крайней мере, на трех: (+1), (0), (-1). Такие планы получили название

планов полного факторного эксперимента 3k (они широко применяются для решения оптимизационных задач).

В настоящее время известно большое число разновидностей планов второго порядка, отличающихся друг от друга как в смысле простоты и наглядности их получения, так и в смысле удовлетворения различным критериям оптимальности.

На рис.5.1 представлена классификация планов второго порядка, согласно которой они делятся на две группы: симметричные и несимметричные.

Для симметричных планов характерна большая упорядоченность в расположении экспериментальных точек, подобие или даже полная симметрия в изменении каждого из изучаемых факторов. Для таких планов справедливы достаточно простые соотношения оценок коэффициентов уравнения регрессии, их выборочных дисперсий и ковариаций. Это связано с тем, что информационная матрица симметричных планов имеет своеобразную, так называемую «блочную структуру», причем большинство ее элементов равно нулю, а те, которые отличны от нуля, равны определенным константам. Среди симметричных планов наибольшее практическое применение получили центрально-композиционные, то есть последовательно строящиеся планы. Некоторые в свою очередь делятся на ортогональные центрально-

композиционные планы (ОЦКП) и ротатабельные центральнокомпозиционные планы (РЦКП).

Несимметричные планы второго порядка менее удобны с практической точки зрения, для них характерны более сложные расчеты по определению тех или иных оценок коэффициентов математической модели, однако они, как правило, более экономны по числу опытов (число опытов может быть равно числу коэффициентов квадратичной модели). Несимметричные планы в свою очередь подразделяются на две группы: насыщенные и ненасыщенные планы второго порядка.

51

Таким образом, в этом случае необходимо решить задачу построения матрицы планирования с ортогональными векторами-столбцами, для чего проводятся специальные преобразования переменных, суть которых будет рассмотрена в дальнейшем (пп. 6.6.1, уравнение (6.7)).

При использовании планов второго порядка важным является вопрос об области планирования эксперимента, то есть той части факторного про-

странства, где должны располагаться экспериментальные точки. Существуют три варианта задания этой области:

-гиперкуб;

-гипершар (для ротатабельных планов);

-естественная область, получаемая путем достройки планов первого порядка.

В первых двух вариантах область планирования выбирается заранее, исходя из особенностей решаемой задачи.

Естественная область планирования эксперимента характерна для так называемых композиционных планов, когда новые, дополнительные точки, координаты которых определяются с учетом тех или иных критериев оптимальности, могут выходить за пределы области планирования эксперимента, примененного на предыдущем этапе исследования.

Необходимо отметить, что всегда имеется возможность перехода от одной области планирования к другой путем соответствующего преобразования. Такая ситуация возникает, например, тогда, когда требуется улучшить свойства планов второго порядка с точки зрения точности характеристик получаемых с их помощью математических моделей.

5.5.2. Планы полного факторного эксперимента 3k

Ранее отмечалось, для того чтобы описать поверхность отклика полиномами второго порядка, необходимо, чтобы независимые факторы принимали не менее трех различных значений (уровней). План, в котором реализованы все возможные комбинации из k факторов, где количество уровней рав-

но 3, представляет собой полный факторный эксперимент типа 3k (ПФЭ 3k).

Очевидно, что полный факторный эксперимент 3k требует слишком большого числа опытов, которое превышает число определяемых коэффициентов уже при k ≥ 2. Например, при количестве факторов k = 2 число опытов равно 9, а число коэффициентов уравнения регрессии 6; если k = 3, то число опытов уже будет 27, а количество коэффициентов всего 10 и т.д.

В табл. 5.8 в качестве примера представлена матрица планирования полного эксперимента для двух факторов и трех значений их уровней.

53

Таблица 5.8

Матрица планирования эксперимента для двух факторов - 32

Аналогичные планы можно построить и для большего числа изучаемых факторов.

Контрольные вопросы

1.Что такое основной (нулевой) уровень изучаемых факторов, как он определяется?

2.Как осуществляется выбор интервалов варьирования факторов?

3.Какие существуют ограничения, накладываемые на выбор интервалов варьирования?

4.Что такое матрица планирования, каковы ее свойства?

5.Как определяется число опытов, необходимых для реализации всех сочетаний уровней факторов?

6.Каковы правила построения планов полного факторного экспери-

мента?

7.По какой формуле рассчитываются коэффициенты уравнения рег-

рессии?

8.Что означает численное значение коэффициента уравнения регрессии и его знак?

9.Какой вид имеет математическая модель для двух факторов с учетом эффекта взаимодействия?

10.Какой вид имеет математическая модель, содержащая квадратичные члены?

54

11.Каков основной недостаток полного факторного эксперимента?

12.Что такое «дробные» реплики, какова их эффективность?

13.Что такое критерии оптимальности планов экспериментов?

14.В чем состоит эффективность критерия D-оптимальности?

15.Каково назначение планов второго порядка?

16.Что такое планы полного факторного эксперимента 3k?

17.Как выглядит матрица планирования полного факторного эксперимента 32?

Варианты тестовых заданий

55

57

6.ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА

ВЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ

6.1.Постановка вопроса решения оптимизационных задач

Большинство задач, решаемых методами планирования экспериментов, можно разделить на две основные группы. Это те задачи, в которых необходимо определить, какое влияние оказывает изменение одного или нескольких факторов на тот или иной результат, и задачи по определению таких значений факторов, которые обеспечивали бы получение оптимальной величины отклика.

Решение последних задач и практическая реализация принципов оптимальности обычно связываются с необходимостью выбора наилучшей из имеющихся возможностей, что приводит к отысканию максимума или минимума (экстремума), то есть наибольших или наименьших значений результатов эксперимента. Такие задачи получили название экстремальных. Применительно к строительному материаловедению эти задачи сводятся, например, к поиску оптимального состава смесей, определению оптимальных соотношений дозировок комплексных добавок полифункционального действия, увеличению выпуска продукции, повышению ее качества, снижению материальных и энергетических затрат и т.п.

Задачу оптимизации в терминах математической теории планирования экспериментов можно сформулировать следующим образом: необходимо найти значения управляющих факторов х1 … хn объекта исследования, при которых отклик или критерий оптимизации у (обычно это показатель эффективности объекта исследования) достигает своего экстремального значения,

Таким образом, речь идет о поиске той области факторного пространства, где изучаемый процесс или явление протекает оптимальным образом.

Единственным условием, ограничивающим нахождение решения такой задачи, является требование, чтобы факторы находились в области допустимых значений. Эта область выбирается экспериментатором для каждого фактора в отдельности; при этом учитываются физические свойства используемых материалов, их химический состав, возможности экспериментальной установки и т.д. При решении экстремальных задач нет необходимости описывать всю поверхность отклика во всей интересующей исследователя области; в этом случае пришлось бы иметь дело с полиномом более высоких степеней, и задача стала бы непомерно громоздкой. Выгоднее и целесообразней такую задачу решать поэтапно, последовательно, разбивая ее на ряд отдельных, более простых элементов.

Для успешного решения оптимизационных задач Боксом и Уилсоном (1951 г.) был разработан специальный метод планирования экспериментов.

58

6.2. Подходы к решению оптимизационных задач

При решении оптимизационных задач основной вопрос состоит в том, как провести эксперимент, чтобы найти оптимальное решение при минимальных затратах.

Можно подойти к ответу на этот вопрос гипотетически – путем использования некого набора всех возможных состояний изучаемого объекта, где в полном объеме представлены значения факторов и соответствующих им функций отклика. В этом случае выбор одного из возможных состояний, которое отвечает требуемому уровню функции отклика, представляет собой искомое решение.

Другим вариантом ответа на поставленный вопрос является случайный выбор некоторого числа состояний объекта и определение для них откликов, соответствующих требованиям условий решения оптимизационной задачи. В этом случае высока вероятность того, что решение получится недостоверным, так как по ограниченному числу состояний вряд ли возможно судить о поведении объекта исследования в целом, а тем более о нахождении оптимального решения.

И, наконец, третий подход связан с тем, что предварительно проводится небольшая серия опытов (например, дробный факторный эксперимент) с целью изучения ограниченного участка поверхности отклика и на этом основании осуществляется выбор направления дальнейшего движения, которое приближало бы к искомому оптимуму. Затем в этом направлении делается определенный «шаг», и ранее описанная процедура повторяется, но уже в новой точке факторного пространства и так далее до тех пор, пока не будет достигнута так называемая «почти стационарная область», в которой находится оптимум.

6.3. Классификация оптимизационных методов поиска экстремума и алгоритм их реализации

Существует несколько методов многомерного поиска экстремального значения функции целевого отклика.

На рис. 6.1 представлен один из вариантов классификации этих мето-

дов.

Для целей экспериментальной оптимизации наибольшее распространение получили те методы поиска экстремума, которые являются более простыми. Сложные разновидности этих методов часто оказываются неработоспособными, что заставляет отказываться от их практического применения.

Конкретные методы поиска экстремума отличаются, прежде всего, выбором направления движения к оптимуму, которое должно быть таким, чтобы функция отклика возрастала с каждым шагом от точки к точке. Эти методы также отличаются организацией движения в выбранном направлении.

59

Методы поиска экстремума

Рис. 6.1. Классификация методов поиска экстремума

Общим для методов поиска экстремума является алгоритм реализации, который содержит следующие основные этапы.

Первый этап – предварительный, когда анализируется априорная информация, определяется критерий оптимизации, выделяются факторы, существенно влияющие на критерий оптимизации.

Второй этап – планирование эксперимента в начальной точке поиска.

Его целью является определение направления движения к экстремуму. Для этого надо для каждого фактора выбрать начальную точку и интервалы варьирования. Универсальных правил для этого нет, но существуют некоторые рекомендации, которые желательно учитывать при постановке эксперимента: если имеется информация об области локализации экстремума, то начальная точка выбирается в этой же области; если же такая информация отсутствует, то начальный эксперимент планируется в изучаемой области. При этом учитывается, что все возможные направления поиска равноправны и что при выборе интервалов варьирования факторов надо «разрешить» противоречие, которое сводится к следующему: увеличение интервалов варьирования повышает скорость движения к экстремуму, но уменьшает точность определения последнего.

Третий этап – реализация эксперимента в начальной точке. Это дает возможность по результатам эксперимента определить направление движения к экстремуму в факторном пространстве.

Четвертый этап – поиск области экстремума. Это многократно повторяющаяся процедура, которая включает в себя:

60