Методическое пособие 340

Изменились также требования к математическому описанию наблюдаемых явлений, в частности, понятие закона в науке сменилось более широким понятием - модели. Одни и те же аспекты изучаемой системы можно описывать различными моделями и всегда надо специально оговаривать, как

ис помощью каких критериев производится оценка модели, дающей представление о поведении сложной, «плохо организованной» системы.

Для описания таких систем создано несколько типов моделей:

-эскизная модель, задаваемая дифференциальными уравнениями, принимаемая для описания отдельных, наиболее важных явлений, а не для системы в целом;

-программная модель, когда систему можно представить совокупностью программ, составленных для ЭВМ;

-комбинированная модель, построенная на основании всестороннего анализа поведения сложной системы. Здесь цель состоит в том, чтобы в любой ситуации предложить модель, которая в какой-то степени напоминала бы предполагаемое поведение реальной системы, а не в стремлении более точно

иадекватно описать состояние этой системы. Следует заметить, что и в повседневной жизни человек поступает аналогично, когда он принимает решения в сложной ситуации при неполном знании изучаемого объекта;

-локально-интегральная модель. В этом случае сложная система представляется в виде «черного ящика», когда исследователь полагает, что механизм явлений, протекающих в системе, в принципе можно описать дифференциальными уравнениями, но из-за их сложности сделать это практически невозможно. Кроме того, исследователь полагает, что систему уравнений в принципе решить можно, но неизвестен даже аналитический вид той функции, которой это решение задается.

Если математическая модель имеет вид полинома, то она носит название полиномиальной. Коэффициенты этого уравнения интерпретируются как коэффициенты ряда Тейлора. Такое уравнение также принято называть уравнением регрессии (слово «регрессия» означает статистическую связь между случайными величинами).

Если оценивать полиномиальную модель с познавательных позиций, то она мало что дает, так как по численным значениям коэффициентов ряда Тейлора нельзя получить сведения об исходной функции и ее аналитическом виде и тем более нельзя представить дифференциальные уравнения, которыми можно было бы описать механизм исследуемого процесса.

Однако в практическом отношении полиномиальные модели оказываются очень полезными, прежде всего при решении оптимизационных задач, например, при определении оптимальных условий протекания технологических процессов.

Кроме того, полиномиальные модели очень удобны в том плане, что, повышая порядок полинома, можно улучшать аппроксимацию; в то же время аппроксимирующая функция по своим параметрам остается достаточно про-

21

стой. Это облегчает последующие статистические операции, например, выбор оптимального расположения экспериментальных точек в факторном пространстве, применение метода наименьших квадратов для оценки параметров уравнения регрессии и т. д.

4.2. Основные принципы (концепции) теории математического планирования экспериментов

В.В. Налимов, с именем которого в нашей стране связано становление и развитие теории планирования экспериментов, дал следующее общее определение: «Планирование эксперимента – это оптимальное управление экспериментом при неполном знании механизма явлений». Раскрывая это высказывание, необходимо более подробно остановиться на следующих четырех основных концепциях, лежащих в основе математической теории планирования экспериментов. Это концепции рандомизации, репликации, последовательного планирования экспериментов и оптимального использования так называемого «факторного пространства».

Концепция рандомизации

Рандомизация (термин происходит от английского слова random – случайный) является краеугольным камнем, на котором основано применение математической статистики в планировании эксперимента. Принцип рандомизации заключаются в том, что в план эксперимента вводится элемент случайности. Это означает, что исследователь искусственным образом создает при выполнении экспериментальных исследований случайную ситуацию. Это делается для того, чтобы систематически действующие факторы, которые трудно поддаются контролю (так называемые неуправляемые факторы), учитывались статистически и затем исключались как систематические ошибки. Такая ситуация при выполнении эксперимента может быть связана с изменением внешних условий, например, температуры, влажности, качества сырья и т. д.

Чтобы осуществить рандомизацию (сделать случайным порядок проведения опытов и, следовательно, распределение полученных данных), используют таблицы случайных чисел (фрагмент таблицы помещен в прил. 2).

Рандомизация обеспечивает также создание такой ситуации, при которой результаты наблюдений (ошибки наблюдений) являются независимыми случайными величинами; тогда есть все основания использовать статистические методы обработки полученных данных. Естественно, что такой подход отличается от традиционного, при котором изучаются «хорошо организованные» системы и когда предполагается, что то или иное явление (процесс) можно отделить от различных (мешающих) факторов со сколь угодно большой точностью. Так как такой подход для сложных систем нереален, то ран-

22

домизация условий проведения опытов является обязательным требованием в теории математического планирования эксперимента.

Концепция репликации

Репликация означает повторение; это необходимо для того, чтобы получить оценки ошибок эксперимента (случайную погрешность), которые дают основание сделать вывод о том, различимы ли со статистической точки зрения наблюдаемые отклонения в результатах опытов, то есть в действительности.

Кроме того, репликация позволяет однозначно сказать «да» относительно эффекта действия изучаемого фактора в том случае, когда число реплик (повторений) велико, а ошибка мала.

Концепция последовательного планирования эксперимента

Смысл этой концепции состоит в том, что используется «шаговая» стратегия проведения эксперимента, при которой в зависимости от результатов опыта на отдельных этапах исследования экспериментатором принимается решение о дальнейших действиях. Особенно ярко это проявляется в задачах планирования так называемых экстремальных экспериментов, когда поиск оптимума ведется шаг за шагом, и в зависимости от априорных сведений (в математической статистике априорными называют сведения, полученные на основании предыдущих опытов) исследователь последовательно применяет те или иные методы планирования экспериментов. Так, сначала обычно исследуемое явление или процесс стараются описать более простой математической моделью, например, линейной, а затем, если проверка показала, что модель оказалась неадекватной, степень полинома повышают и используют более сложный вид уравнения регрессии. Вот почему при многофакторном планировании целесообразней проводить эксперименты поэтапно, то есть последовательно.

Концепция оптимального использования «факторного пространства»

Эту концепцию в теории планирования еще называют концепцией многофакторного эксперимента. Ее сущность заключается в том, что каждый эффект действия фактора оценивается по всей совокупности опытов и оценка общей дисперсии по сравнению с оценкой дисперсии единичного (выборочного) измерения значительно уменьшается. Отсюда следует важный вывод о том, что в задачах с большим числом независимых переменных (факторов) резко повышается эффективность эксперимента. Поэтому в таких случаях говорят, что пространство независимых переменных (факторов), выбранное

23

для экспериментальных исследований, «используется оптимальным образом».

Существуют некоторые и другие концепции математической теории планирования экспериментов, которые имеют меньшее значение и поэтому здесь рассматриваться не будут.

4.3. Основные понятия и определения математической теории планирования эксперимента

4.3.1. Определение фактора и требования, предъявляемые к нему

Структура или схема эксперимента в первую очередь описывается «входными» факторами и способами комбинирования их значений (уровней). Как правило, в каждом конкретном случае факторы и их уровни должны соответствовать реальным особенностям рассматриваемой задачи.

Фактором называется измеряемая переменная величина, принимающая в некоторый момент времени определенное значение. Каждый фактор имеет свою область определения, под которой понимается совокупность всех значений, которые в принципе может принимать данный фактор. В задачах планирования экспериментов в основном используются дискретные области определения факторов. Обычно на практике области определения факторов ограничены, причем ограничения могут носить как принципиальный, так и технический характер.

Фактор считается заданным, если вместе с его названием указана область его определения.

При планировании эксперимента к факторам предъявляются следующие требования. Во-первых, они должны быть управляемыми. Это значит, что экспериментатор, выбрав нужное значение фактора, может в течение всего опыта поддерживать его постоянным, то есть управлять им (в этом и состоит особенность так называемых «активных» экспериментов). В принципе планировать эксперимент можно лишь в том случае, если уровни факторов подчиняются воле экспериментатора.

Фактор должен иметь однозначное понимание. Чтобы точно определить фактор, необходимо указать последовательность действий (операций), с помощью которых можно установить его конкретные значения (уровни). Такой фактор называется операциональным. С этим связан выбор размерности фактора и точность его фиксирования; последняя, разумеется, должна быть как можно более высокой.

Факторы должны быть однозначны, то есть непосредственно действовать на объект исследования. Это обусловлено тем, что трудно управлять тем или иным фактором, который сам является функцией других переменных.

Так как при планировании эксперимента обычно одновременно изуча-

24

ется несколько факторов, то обязательным требованием к совокупности факторов является их совместимость. Это требование означает, что все комбинации факторов могут быть практически осуществимы и безопасны.

Чрезвычайно важным при планировании эксперимента является требование независимости факторов, что означает возможность установления данного фактора на любом уровне вне зависимости от уровней других факторов; в противном случае планировать эксперимент невозможно. Причем требование отсутствия корреляции между факторами вовсе не означает, что между значениями факторов нет вообще никакой связи.

И, наконец, выбранное множество факторов должно быть достаточно полным. Если какой-либо существенный фактор при планировании эксперимента не будет учтен, то это может привести к неверному результату или же к большой ошибке опыта и неправильному определению оптимальных условий при решении оптимизационных задач.

Таким образом, выбор факторов – весьма ответственный этап при подготовке к выполнению экспериментальных исследований. Можно даже сказать, что от удачного выбора факторов зависит успех работы.

4.3.2. Определение понятия отклика (критерия оптимизации); требования, предъявляемые к нему

Прежде чем приступить к выполнению эксперимента, необходимо однозначно и непротиворечиво сформулировать его цель и выбрать ее подходящую количественную характеристику, которая в математической теории планирования эксперимента получила название отклика или критерия (параметра) оптимизации, если планируется постановка «активного» экстремального эксперимента. Параметр оптимизации является реакцией (откликом) на воздействия факторов, которые определяют поведение исследуемой системы. Отклик объекта исследования может быть многогранен; необходимо выбрать тот его вариант, который наиболее интересен для исследователя.

4.3.2.1.Виды параметров оптимизации

Взависимости от объекта и цели исследования параметры оптимизации могут быть различными. На рис. 4.1 представлен набор некоторых возможных вариантов параметров оптимизации, который достаточно условен.

Вреальной ситуации в принципе каждый объект может характеризоваться всей совокупностью параметров (откликов). Однако поиск оптимума возможен лишь в том случае, если выбран один единственный параметр оптимизации, а прочие характеристики изучаемого объекта служат ограничениями. Другой путь – нахождение обобщенного параметра оптимизации как некоторой функции от множества исходных параметров (существуют специальные методы получения такого параметра).

25

ПАРАМЕТРЫ ОПТИМИЗАЦИИ

потребительские характеристики продукта

Рис. 4.1. Варианты параметров оптимизации

26

Анализируя представленный на рис. 4.1 набор вариантов, следует обратить внимание на то, что экономические параметры оптимизации обычно используются при изучении действующих промышленных объектов, а в целом почти во всех исследованиях необходимо учитывать количество и качество получаемого продукта, причем показатели качества могут быть весьма разнообразными (в данном варианте они сгруппированы по видам свойств).

4.3.2.2. Требования к параметру оптимизации (отклику)

Так как параметр оптимизации - это основной признак, по которому оптимизируется технологический процесс, то он должен задаваться числом,

то есть должен оцениваться количественно.

Множество значений, которые может принимать параметр оптимизации, называется областью его определения. Параметр оптимизации обычно можно измерить. Если нет способа количественного измерения результата, то пользуются так называемым ранжированием или ранговым подходом, когда параметрам присваиваются оценки – ранги. В простейшем случае - это два значения: «да» - «нет»; «хорошо» - «плохо»; «качественная продукция» - «брак». К сожалению, ранг носит условный (субъективный) характер, поэтому всегда желательно отдавать предпочтение физическому измерению параметра оптимизации.

Следующее требование к параметру оптимизации – это то, что он должен выражаться одним числом, например, результат испытаний регистрируется показанием того или иного прибора.

Важным требованием, связанным с количественной природой парамет-

ра оптимизации, является его однозначность в статистическом смысле, то есть заданному набору значений факторов должно соответствовать лишь одно значение параметра оптимизации, определяемое с точностью до ошибки эксперимента (необходимо обратить внимание на то, что обратное утверждение - одному и тому же значению параметра могут соответствовать разные наборы значений факторов - неверно).

Главным требованием, определяющим корректность постановки задачи, является необходимость того, чтобы параметр оптимизации действи-

тельно оценивал эффективность функционирования системы с точки зрения достижения цели. Параметр оптимизации должен быть эффективным и в статистическом смысле. Фактически данное требование подразумевает выбор такого параметра, который определяется с наибольшей возможной точностью.

Следующее требование к параметру оптимизации – универсальность, под которой понимается способность параметра оптимизации всесторонне характеризовать объект. Необходимо отметить, что технологические параметры оптимизации, как правило, недостаточно универсальны: они часто не учитывают экономические аспекты.

27

Желательно также, чтобы параметр оптимизации имел физический смысл, был простым и легко вычисляемым. Обычно определенный физиче-

ский смысл имеют технологические параметры оптимизации.

Таким образом, выбор параметра оптимизации при планировании эксперимента является также сложной задачей. На практике при изучении технологических процессов наиболее часто приходится учитывать такие параметры, как физико-механические, технологические и экономические. Причем математические модели можно построить для каждого из этих параметров, но оптимизировать несколько функций одновременно невозможно; оптимизируется лишь одна функция, наиболее важная с точки зрения исследователя.

4.3.3. Определение понятия функции отклика

Математическая зависимость, связывающая параметр оптимизации и изучаемые факторы, в теории планирования эксперимента получила название функции отклика. В общем виде ее можно записать так:

где x1, x2 ,..., xk - независимые переменные (факторы).

Эту функцию рассматривают как отклик объекта исследования на действие указанной комбинации факторов.

Если аналитическое выражение функции отклика неизвестно, то можно приближенно выразить ее с помощью многочлена, который называется ап-

проксимирующим многочленом Тейлора и имеет вид

где b0 ,bi ,bij ,bii - оценки коэффициентов уравнения регрессии, которые рас-

считываются по экспериментально полученным данным.

Эти оценки обладают следующими замечательными свойствами: состоятельностью, несмещенностью и достаточностью. Оценка параметра состоятельна, если она стремится к его истинному значению при увеличении числа опытов, не смещена, если ее математическое ожидание (среднее значение) равно истинному значению параметра, и достаточна, если включает в себя максимум информации об изучаемом параметре.

Функция отклика (4.2), которая получается на основании расчетов, также является лишь оценкой истинной функции отклика, которую можно

где β0, βi, βij , βii - истинные значения коэффициентов функции отклика.

Геометрический образ функции отклика в факторном пространстве, который называется поверхностью отклика, задается координатными осями, по которым откладываются значения факторов и параметра оптимизации. Для примера рассмотрим простейший случай - поверхность отклика для экспери-

28

мента с двумя факторами х1 и х2. У каждого фактора есть минимальное и максимальное возможное значение, между ними расположена область определения, в пределах которой он может изменяться. Если факторы х1 и х2 совместимы, то их границы образуют на плоскости некоторый прямоугольник (рис. 4.2, а), внутри которого лежат точки, соответствующие состояниям «черного ящика» с двумя «входами». Пунктирными линиями на рисунке обозначены границы областей определения каждого из факторов, а сплошными – границы их совместной области определения. Если еще дополнительно изобразить параметр оптимизации, то поверхность отклика может выглядеть так, как показано на рис. 4.2, б. В том случае, когда изучается влияние нескольких факторов, поверхность отклика уже нельзя изобразить так наглядно и приходится ограничиваться воображаемым гиперпространством.

а)

х1

х1 max

а)

х1 min

б)

у

х2

х1

Рис. 4.2. Графическое представление: а) области определения двух факторов;

б) поверхности отклика гипотетической модели

29

Для двух факторов можно получить наглядное геометрическое представление функции отклика в виде сечений поверхности отклика плоскостями, параллельными плоскости х1, х2, то есть это проекция полученных сечений на данную плоскость. Так строят, например, изображения гор и морских впадин на географических картах (рис. 4.3). Каждая линия соответствует постоянному значению параметра оптимизации. Такие линии называют-

ся линиями равного отклика.

Перед исследователем стоит задача выбора вида функции отклика – это значит, что необходимо выбрать математическую модель, которая именуется по наибольшей степени фактора в полиноме, например, уравнение вида:

у= b0 - модель нулевой степени (нулевого порядка);

у= b0 +b1x1+b2x2 - модель первой степени (первого порядка);

у= b0 +b1x1+b2x2+b12x1x2+b11x12+b22x22 - модель второй степени (второго порядка) и т.д.

М

х1

х2

Рис. 4.3. Проекция на плоскость х1 , х2 сечений поверхности отклика, у:

точка М – точка оптимума

Чем сложнее функция отклика, тем более высокий порядок полинома приходится использовать для достижения требуемой точности математического описания исследуемого процесса. Однако существует так называемое понятие «чрезмерной» (или неоправданной) точности. Оно заключается в том, что при выполнении экспериментального исследования всегда существует некоторая ошибка эксперимента, причины которой могут быть разнообразны: нестабильность условий опыта, разброс характеристик параметров факторов и прочее. Поэтому не имеет особого смысла усложнять математическую модель.

30