Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методическое пособие 340

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

928 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1210 11 12 > Следующая >>>

14. Присоединенной матрицей [А ] для заданной квадратичной матрицы [А] называется матрица, полученная при замене каждого компонента аij его алгебраическим дополнением Аij и транспонированием такой новой матрицы.

Например, для того, чтобы рассчитать определитель А , миноры Мij,

	4	4	2
алгебраические дополнения для матрицы	[А]= 3	3	2	и получить присое-
		2	2
	3	2	2

диненную матрицу, следует:

1)определитель найти по (П.1.6):

А=4 3 2 −4 2 2 +4 3 2 +2 3 2 −2 3 3 =2;

2)миноры – определители подматриц, не содержащих столбцы и строки, на пересечении которых находится соответствующий компонент матрицы, рассчитать следующим образом:

М	11	=а	22	а −а	23	а =3 2 −2 2 =2;	А =(−1)1+1	2 =2;
	11		22	33	23	33	11

М	12	=а а −а				23	а =3 2 −2 3 =0;					А =(−1)1+2		0 =0;
	12	21		33		23		31				12
М	13	=а а −а				22	а =3 2 −3 3 =−3;					А =(−1)1+3 (−3) =−3;
	13	21	32			22			31			13
М	21	=а а −а а =4 2 −2 2 =4;										А =(−1)2+1		4 =−4;
	21	11	33		13		32					21
М	22	=а а −а а =4 2 −2 3 =2;										А =(−1)2+2 2 =2;
	22	21		33		13		31				22
М	23	=а а −а а =4 2 −4 3 =−4;										А =(−1)2+3 (−4) =4;
	23	11	32		12			31				23
М	31	=а а		23	−а а			22		=4 2 −2 3 =2;		А =(−1)3+1		2 =2;
	31	12		23	13			22				31
М	32	=а а		23	−а а			21		=4 2 −2 3 =2;		А =(−1)3+2		2 =−2;
	32	11		23	13			21				32
М	33	=а а		22	−а а				21	=4 3−4 3 =0;		А =(−1)3+3 0 =0;
	33	11		22		12			21			33
3) присоединенная матрица выглядит как
											2	0	−3
										[А ]= −4		2 4 ;
											2	−2	0

4) окончательно присоединенная транспонированная матрица будет

равна

	2	−4	2
[ТА ]=	0	2 −2 .
−3		4	0

15. Если квадратная матрица [А] невырожденная, то обратной матрицей [А]-1 называется такая матрица, которая при перемножении в любом порядке с матрицей [А] дает в результате единичную матрицу [Е]:

[А] × [А]-1 = [А]-1 × [А] = [Е].	(П.1.8)
91

При вычислении обратной матрицы [А]-1 используется определитель А

и присоединенная транспонированная матрица [ТА ]:

[А]-1 = [ТА ] : А. (П.1.9)

Например, используя результаты предыдущего примера, можно рассчитать матрицу [А]-1, обратную матрице [А], следующим образом:

4 4		2				2		−4	2
[А]= 3	3	2	;	А	=2;	[ТА ]=	0	2	−2 .

	2 2								0
3						−3 4

Следовательно,				1	−2	1
	[ТА ]
[А]−1 =				0	1 −1		.
		А

			−1,5		2	0

16. Ортогональной матрицей называется матрица [А], для которой транспонированная матрица [А*] равна обратной матрице [А]-1; ее определитель всегда равен ± 1.

Основные действия над матрицами

Суммирование матриц

Если матрицы [А] и [В] с элементами аij и bij (соответственно) имеют одинаковый порядок m × n, то можно найти матрицу их суммы [С] того же порядка

[А] + [В] = [С],	(П.1.10)
элементы которой сij определяются как
сij = аij +bij.	(П.1.11)

Перемножение матриц

Если число столбцов nА матрицы [А]={аij } равно числу строк mВ матрицы [В]={bjk , то матрицу произведения можно определить как [C]={cik }

размером nА × mВ, элементы которой сik вычисляются следующим образом:
с	n	b		(при i = 1, 2, ..., nА).	(П..12)
	= ∑a		jk
ik	i=1 ij

Произведение матриц имеет смысл только при nА = mВ.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Фрагмент таблицы случайных чисел

	56	66	25	32	38	64	70	26	27	67	77	40	04	34	63	98	99	89	31	16	12	90	50	28	96
	88	40	52	02	29	82	69	34	50	21	74	00	91	27	52	98	72	03	45	65	30	89	71	45	91
	87	63	88	23	62	51	07	69	59	02	89	49	14	98	53	41	92	36	07	76	85	37	84	37	47
	32	25	21	15	08	82	34	57	57	35	22	03	33	48	84	37	37	29	38	37	89	76	25	09	69
	44	61	88	23	13	01	59	47	64	04	99	59	96	20	30	87	31	33	69	45	58	48	00	83	48
	94	44	08	67	79	41	61	41	15	60	11	88	83	24	82	24	07	78	61	89	42	58	88	22	16
	13	24	40	09	00	65	46	38	61	12	90	62	41	11	59	85	18	42	61	29	88	76	04	21	80
	78	27	84	05	99	85	75	67	80	05	57	05	71	70	31	31	99	99	06	96	53	99	25	13	63
	42	39	30	02	34	99	46	68	45	15	19	74	15	50	17	44	80	13	86	38	40	45	82	13	44
	04	52	43	96	38	13	83	80	72	34	20	84	56	19	49	59	14	85	42	99	71	16	34	33	79
93	82	85	77	30	16	69	32	46	46	30	84	20	68	72	98	94	62	63	59	44	00	89	06	15	87
93	38	48	84	88	24	55	46	48	60	06	90	08	83	83	98	40	90	88	25	26	85	74	55	80	85
	38	48	84	88	24	55	46	48	60	06	90	08	83	83	98	40	90	88	25	26	85	74	55	80	85
	91	19	05	68	22	58	04	63	21	16	23	38	25	43	32	98	94	65	35	35	16	91	07	12	43
	54	81	87	21	31	40	46	17	62	63	99	71	14	12	64	51	68	50	60	78	22	69	51	98	37
	65	43	75	12	91	20	36	25	57	92	33	65	95	48	75	00	06	65	25	90	16	29	34	14	43
	49	98	71	31	80	59	57	32	43	07	85	06	64	75	27	29	17	06	11	30	68	70	97	87	21
	03	98	68	89	39	71	87	32	14	99	42	10	25	37	30	08	27	75	43	97	54	20	69	93	50
	56	04	21	34	92	89	81	52	15	12	84	11	12	66	87	48	21	06	86	08	35	39	52	28	09
	48	09	36	95	36	20	82	53	32	89	92	68	50	88	17	37	92	02	23	43	63	24	69	80	91
	23	97	10	96	57	74	07	95	26	44	93	08	43	30	41	86	45	74	33	78	84	33	38	76	73
	43	97	55	45	98	35	69	45	96	80	46	36	39	96	33	60	20	73	30	79	17	19	03	47	28
	40	05	08	50	79	89	58	19	86	48	27	98	99	24	08	94	19	15	81	29	82	14	35	88	03
	66	97	10	69	02	25	36	43	71	76	00	67	56	12	69	07	89	55	63	31	50	72	20	33	36
	15	62	38	72	92	03	76	09	30	75	77	80	04	24	54	67	60	10	79	26	21	60	03	48	14
	77	81	15	14	67	55	24	22	20	55	36	93	67	69	37	72	22	43	46	32	56	15	75	25	12
	18	87	05	09	96	45	14	72	41	46	12	67	46	72	02	59	06	17	49	12	73	28	23	52	48
	08	58	53	63	66	13	07	04	48	71	39	07	46	96	40	20	86	79	11	81	74	11	15	23	17
	16	07	79	57	61	42	19	68	15	12	60	21	59	12	07	04	99	88	22	39	75	16	69	13	84
													93

														ПРИЛОЖЕНИЕ 3
				Квантили распределения Кохрена Gр-1 для р = 0,05

n									f
	1	2	3		4	5	6	7		8	9	10	16	36	144	∞
2	9985	9750	9392		9057	8772	8534	8332		8159	8010	7880	7341	6602	5813	5000
3	9669	8709	7977		7457	7071	6771	6530		6333	6167	6025	5466	4748	4031	3333
4	9065	7679	6841		6287	5895	5598	5365		5175	5017	4884	4366	3720	3093	2500
5	8412	6838	5981		5441	5065	4783	4564		4387	4241	4118	3645	3066	2513	2000
6	7808	6161	5321		4803	4447	4184	3980		3817	3682	3568	3135	2612	2119	1667
7	7271	5612	4800		4307	3974	3726	3535		3384	3259	3154	2756	2278	1833	1429
8	6798	5157	4377		3910	3595	3362	3185		3043	2926	2829	2462	2022	1616	1250
9	6385	4775	4027		3584	3286	3067	2901		2768	2659	2568	2226	1820	1446	1111
10	6020	4450	3733		3311	3029	2823	2666		2541	2439	2353	2032	1655	1308	1000
12	5410	3924	3264		2880	2624	2439	2299		2187	2098	2020	1737	1403	1100	0833
15	4709	3346	2758		2419	2195	2034	1911		1815	1736	1671	1429	1144	0889	0667
20	3894	2705	2205		1921	1735	1602	1501		1422	1357	1303	1108	0879	0675	0500
24	3434	2354	1907		1656	1493	1374	1286		1216	1160	1113	0942	0743	0567	0417
30	2929	1980	1593		1377	1237	1137	1061		1002	0958	0921	0771	0604	0457	0333
40	2370	1576	1259		1082	0968	0887	0827		0780	0745	0713	0595	0462	0347	0250
60	1737	1131	0895		0765	0682	0623	0583		0552	0520	0497	0411	0316	0234	0167
120	0998	0632	0495		0419	0371	0337	0312		0292	0279	0266	0218	0165	0120	0083
∞	0000	0000	0000		0000	0000	0000	0000		0000	0000	0000	0000	0000	0000	0000
								94

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

Квантили распределения Фишера Fр-1 для р = 0,05

f 2					f 1
	1	2	3	4	5	6	12	24	∞
1	164,4	199,5	215,7	224,3	230,2	234,0	244,9	249,0	254,3
2	18,5	19,2	19,2	19,3	19,3	19,3	19,4	19,5	19,5
3	10,1	9,6	9,3	9,1	9,0	8,9	8,7	8,6	8,5
4	7,7	6,9	6,6	6,4	6,3	6,2	5,9	5,8	5,6
5	6,6	5,8	5,4	5,2	5,1	5,0	4,7	4,5	4,4
6	6,0	5,1	4,8	4,5	4,4	4,3	4,0	3,8	3,7
7	5,6	4,7	4,4	4,1	4,0	3,9	3,6	3,4	3,2
8	5,3	4,5	4,1	3,8	3,7	3,6	3,3	3,1	2,9
9	5,1	4,3	3,9	3,6	3,5	3,4	3,1	2,9	2,7
10	5,0	4,1	3,7	3,5	3,3	3,2	2,9	2,7	2,5
11	4,8	4,0	3,6	3,4	3,2	3,1	2,8	2,6	2,4
12	4,8	3,9	3,5	3,3	3,1	3,0	2,7	2,5	2,3
13	4,7	3,8	3,4	3,2	3,0	2,9	2,6	2,4	2,2
14	4,6	3,7	3,3	3,1	3,0	2,9	2,5	2,3	2,1
15	4,5	3,7	3,3	3,1	2,9	2,8	2,5	2,3	2,1
16	4,5	3,6	3,2	3,0	2,9	2,7	2,4	2,2	2,0
17	4,5	3,6	3,2	3,0	2,8	2,7	2,4	2,2	2,0
18	4,4	3,6	3,2	2,9	2,8	2,7	2,3	2,1	1,9
19	4,4	3,5	3,1	2,9	2,7	2,6	2,3	2,1	1,8
20	4,4	3,5	3,1	2,9	2,7	2,6	2,3	2,1	1,8
				95

Окончание прил. 4

	f 2					f 1
		1	2	3	4	5	6	12	24	∞
	22	4,3	3,4	3,1	2,8	2,7	2,6	2,2	2,0	1,8
	24	4,3	3,4	3,0	2,8	2,6	2,5	2,2	2,0	1,7
	26	4,2	3,4	3,0	2,7	2,6	2,4	2,1	1,9	1,7
	28	4,2	3,3	2,9	2,7	2,6	2,4	2,1	1,9	1,6
	30	4,2	3,3	2,9	2,7	2,5	2,4	2,1	1,9	1,6
	40	4,1	3,2	2,9	2,6	2,5	2,3	2,0	1,8	1,5
96	60	4,0	3,2	2,8	2,5	2,4	2,3	1,9	1,7	1,4
	120	3,9	3,1	2,7	2,5	2,3	2,2	1,8	1,6	1,3
	∞	3,8	3,0	2,6	2,4	2,2	2,1	1,8	1,5	1,0

ПРИЛОЖЕНИЕ 5

Квантили распределения Стьюдента

Число			Уровни значимости р
степеней
свободы	0,20	0,10	0,05		0,02	0,01	0,005	0,001
f
1	3,08	6,31	12,71		31,82	63,66	127,32	636,62
2	1,89	2,92	4,30		6,97	9,93	14,09	31,60
3	1,64	2,35	3,18		4,54	5,84	7,45	12,94
4	1,53	2,13	2,78		3,75	4,60	5,60	8,61
5	1,48	2,02	2,57		3,37	4,03т	4,77	6,86
6	1,44	1,94	2,45		3,14	3,71	4,32	5,96
7	1,42	1,90	2,37		3,00	3,50	4,03	5,41
8	1,40	1,86	2,31		2,90	3,36	3,83	5,04
9	1,38	1,83	2,26		2,82	3,25	3,69	4,78
10	1,37	1,81	2,23		2,76	3,17	3,58	4,59
11	1,36	1,80	2,20		2,72	3,11	3,50	4,44
12	1,36	1,78	2,18		2,68	3,06	3,4	4,32
13	1,35	1,77	2,16		2,65	3,01	3,37	4,22
14	1,34	1,76	2,15		2,62	2,98	3,33	4,14
15	1,34	1,75	2,13		2,60	2,95	3,29	4,07
16	1,34	1,75	2,12		2,58	2,92	3,25	4,02
17	1,33	1,74	2,11		2,57	2,90	3,22	3,97
18	1,33	1,73	2,10		2,55	2,88	3,20	3,92
19	1,33	1,73	2,09		2,54	2,86	3,17	3,88
20	1,33	1,73	2,09		2,53	2,85	3,15	3,85
21	1,32	1,72	2,08		2,52	2,83	3,14	3,82
22	1,32	1,72	2,07		2,51	2,82	3,12	3,79
23	1,32	1,71	2,07		2,50	2,81	3,10	3,77
24	1,32	1,71	2,06		2,49	2,80	3,09	3,75
25	1,32	1,71	2,06		2,48	2,79	3,08	3,73
26	1,32	1,71	2,06		2,48	2,78	3,07	3,71
27	1,31	1,70	2,05		2,47	2,77	3,06	3,69
28	1,31	1,70	2,05		2,47	2,76	3,05	3,67
29	1,31	1,70	2,04		2,46	2,76	3,04	3,66
30	1,31	1,70	2,04		2,46	2,75	3,03	3,65
40	1,30	1,68	2,02		2,42	2,70	2,97	3,55
60	1,30	1,67	2,00		2,39	2,66	2,91	3,46
120	1,29	1,66	1,98		2,36	2,62	2,86	3,37
∞	1,28	1,64	1,96		2,33	2,58	2,81	3,29
				97

ПРИЛОЖЕНИЕ 6

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ПРИМЕР 1. В соответствии с планом 23 выполнены исследования зависимости плотности поризованного бетона от следующих трех факторов:

Х1 – скорость вращения мешалки, которая изменялась в пределах 10 ...

15 с-1;

Х2 – дозировка воздухововлекающей добавки, которая изменялась от 0,5 % до 1,5 % от массы цемента;

Х3 – В/Ц-отношение, величина которого изменялась в пределах 0,5 –

0,6.

Уровни варьирования факторов в натуральных единицах и матрица планирования эксперимента представлены в табл. П.6.1 (в примере условно принимается, что повторяемость и равноточность всех опытов были одинаковыми).

Рассчитаем коэффициенты уравнения регрессии.


b	=	4960 =620.
o		8
b =		−800 −680 −650 −520 +650 +630 +580 +450		=−42,5.
		8
1
b	=		−800 −680 +650 +520 −650 −630 +580 +450	=−70.
		8
2
b	=		−800 +680 −650 +520 −650 +630 −580 +450	=−50.
		8
3

Математическая модель без парных и тройных взаимодействий имеет

вид

	yˆ =620 −42,5x1 −70x2 −50x3 .		(П.6.1)
Выполним грубую проверку.		кг/м3 .
yˆ	=620 −42,5(−1) −70(−1) −50(−1) =782,5	кг/м3 .
1
.........................................................................		кг/м3.
yˆ	=620 −42,5(−1) −70(+1) −50(−1) =642,5	кг/м3.
3
.........................................................................		кг/м3.
yˆ	=620 −42,5(+1) −70(+1) −50(+1) =457,5	кг/м3.
8

Грубая проверка и сравнение полученных данных с экспериментальными результатами показывает, что полученная модель достаточно информативна.

Чтобы улучшить модель, рассчитаем коэффициенты при парных и тройном взаимодействиях.

b12 = +800 +680 −650 −520 −650 −630 +580 +450 =+7,5. 8

Таблица П.6.1

Уровни варьирования факторов и матрица планирования эксперимента 23

	Номер	Факторы в натуральных				х0	План эксперимента			х1х2	х1х3	х2х3	х1х2 х3	Отклик
	опыта		единицах											уj ,
		Х1		Х2	Х3		х1	х2	х3					кг/м3
	1	600		0,5	0,5	+1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	-1	800

	2	600		0,5	0,6	+1	-1	-1	+1	+1	-1	-1	+1	680
99
99	3	600		1,5	0,5	+1	-1	+1	-1	-1	+1	-1	+1	650
	3	600		1,5	0,5	+1	-1	+1	-1	-1	+1	-1	+1	650

	4	600		1,5	0,6	+1	-1	+1	+1	-1	-1	+1	-1	520

	5	900		0,5	0,5	+1	+1	-1	-1	-1	-1	+1	+1	650

	6	900		0,5	0,6	+1	+1	-1	+1	-1	+1	-1	-1	630

	7	900		1,5	0,5	+1	+1	+1	-1	+1	-1	-1	-1	580

	8	900		1,5	0,6	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	450

													N∑=8= 4960
													j	=1

								99

b13 = +800 −680 +650 −520 −650 +630 −580 +450 =+12,5. 8

b = +800 −680 −650 +520 +650 −630 −580 +450 =−15,0.
23	8
b	=	−800 +680 +650 −520 +650 −630 −580 +450		=−12,5.

123	8
Тогда
yˆ =620 −42,5х1 −70х2 −50х3 +7,5х1х2 +12,5х1х3 −					(П.6.2)
−15х2 х3 −12,5х1х2 х3.

Выполним проверку:
yˆ1 =620 −42,5(−1) −70(−1) −50(−1) +7,5(−1)(−1) +12,5(−1)(−1) −
−15(−1)(−1) −12,5(−1)(−1)(−1) =800			кг/м3.
...........................................................................................
yˆ3 =620 −42,5(−1) −70(+1) −50(−1) +7,5(−1)(+1) +12,5(−1)(−1) −
−15(+1)(−1) −12,5(−1)(=1)(−1) =650			кг/м3.
............................................................................................
yˆ8 =620 −42,5(+1) −70(+1) −50(+1) +7,5(+1)(+1) +12,5(+1)(+1) −
−15(+1)(+1) −12,5(+1)(+1)(+1) = 450			кг/м3.

Как видим, дополненная модель оказалась точнее.

Чтобы установить окончательный вид математической модели, выполним дисперсионный анализ экспериментальных данных и оценим адекватность полученного уравнения регрессии по критерию Фишера.

Проверим значимость каждого из коэффициентов с помощью критерия Стьюдента.

Так как диагональные элементы матрицы планирования равны между собой, то все коэффициенты уравнения регрессии определяются с одинаковой точностью.

Sb =	Sвоспр	.	(П.6.3)
	N
i

Для определения Sвоспр необходима статистическая обработка данных, полученных в центре плана, когда х1 = 0, х2 = 0, х3 = 0. Поставлены три параллельных опыта и получены следующие значения отклика: 620 кг/м3, 640

кг/м3, 655 кг/м3. Тогда
	yo = 620 +640	+655 =638	кг/м3.
	3
S 2	= (620 −638)2 +(640 −638)2 +(655		−638)2 =308,5.
воспр	3	−1

Sвоспр =17,6.

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1210 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.2022911.27 Кб2Методическое пособие 337.pdf
#
30.04.2022925.04 Кб5Методическое пособие 338.pdf
#
30.04.2022926.78 Кб2Методическое пособие 339.pdf
#
30.04.2022573.44 Кб2Методическое пособие 34.doc
#
30.04.2022262.9 Кб2Методическое пособие 34.pdf
#
30.04.2022928 Кб9Методическое пособие 340.pdf
#
30.04.2022932.4 Кб3Методическое пособие 341.pdf
#
30.04.2022934.66 Кб4Методическое пособие 342.pdf
#
30.04.2022939.2 Кб5Методическое пособие 343.pdf
#
30.04.2022947 Кб4Методическое пособие 344.pdf
#
30.04.2022947.16 Кб3Методическое пособие 345.pdf

	56	66	25	32	38	64	70	26	27	67	77	40	04	34	63	98	99	89	31	16	12	90	50	28	96
	88	40	52	02	29	82	69	34	50	21	74	00	91	27	52	98	72	03	45	65	30	89	71	45	91
	87	63	88	23	62	51	07	69	59	02	89	49	14	98	53	41	92	36	07	76	85	37	84	37	47
	32	25	21	15	08	82	34	57	57	35	22	03	33	48	84	37	37	29	38	37	89	76	25	09	69
	44	61	88	23	13	01	59	47	64	04	99	59	96	20	30	87	31	33	69	45	58	48	00	83	48
	94	44	08	67	79	41	61	41	15	60	11	88	83	24	82	24	07	78	61	89	42	58	88	22	16
	13	24	40	09	00	65	46	38	61	12	90	62	41	11	59	85	18	42	61	29	88	76	04	21	80
	78	27	84	05	99	85	75	67	80	05	57	05	71	70	31	31	99	99	06	96	53	99	25	13	63
	42	39	30	02	34	99	46	68	45	15	19	74	15	50	17	44	80	13	86	38	40	45	82	13	44
	04	52	43	96	38	13	83	80	72	34	20	84	56	19	49	59	14	85	42	99	71	16	34	33	79
93	82	85	77	30	16	69	32	46	46	30	84	20	68	72	98	94	62	63	59	44	00	89	06	15	87
93	38	48	84	88	24	55	46	48	60	06	90	08	83	83	98	40	90	88	25	26	85	74	55	80	85
	38	48	84	88	24	55	46	48	60	06	90	08	83	83	98	40	90	88	25	26	85	74	55	80	85
	91	19	05	68	22	58	04	63	21	16	23	38	25	43	32	98	94	65	35	35	16	91	07	12	43
	54	81	87	21	31	40	46	17	62	63	99	71	14	12	64	51	68	50	60	78	22	69	51	98	37
	65	43	75	12	91	20	36	25	57	92	33	65	95	48	75	00	06	65	25	90	16	29	34	14	43
	49	98	71	31	80	59	57	32	43	07	85	06	64	75	27	29	17	06	11	30	68	70	97	87	21
	03	98	68	89	39	71	87	32	14	99	42	10	25	37	30	08	27	75	43	97	54	20	69	93	50
	56	04	21	34	92	89	81	52	15	12	84	11	12	66	87	48	21	06	86	08	35	39	52	28	09
	48	09	36	95	36	20	82	53	32	89	92	68	50	88	17	37	92	02	23	43	63	24	69	80	91
	23	97	10	96	57	74	07	95	26	44	93	08	43	30	41	86	45	74	33	78	84	33	38	76	73
	43	97	55	45	98	35	69	45	96	80	46	36	39	96	33	60	20	73	30	79	17	19	03	47	28
	40	05	08	50	79	89	58	19	86	48	27	98	99	24	08	94	19	15	81	29	82	14	35	88	03
	66	97	10	69	02	25	36	43	71	76	00	67	56	12	69	07	89	55	63	31	50	72	20	33	36
	15	62	38	72	92	03	76	09	30	75	77	80	04	24	54	67	60	10	79	26	21	60	03	48	14
	77	81	15	14	67	55	24	22	20	55	36	93	67	69	37	72	22	43	46	32	56	15	75	25	12
	18	87	05	09	96	45	14	72	41	46	12	67	46	72	02	59	06	17	49	12	73	28	23	52	48
	08	58	53	63	66	13	07	04	48	71	39	07	46	96	40	20	86	79	11	81	74	11	15	23	17
	16	07	79	57	61	42	19	68	15	12	60	21	59	12	07	04	99	88	22	39	75	16	69	13	84
													93

	f 2					f 1
		1	2	3	4	5	6	12	24	∞
	22	4,3	3,4	3,1	2,8	2,7	2,6	2,2	2,0	1,8
	24	4,3	3,4	3,0	2,8	2,6	2,5	2,2	2,0	1,7
	26	4,2	3,4	3,0	2,7	2,6	2,4	2,1	1,9	1,7
	28	4,2	3,3	2,9	2,7	2,6	2,4	2,1	1,9	1,6
	30	4,2	3,3	2,9	2,7	2,5	2,4	2,1	1,9	1,6
	40	4,1	3,2	2,9	2,6	2,5	2,3	2,0	1,8	1,5
96	60	4,0	3,2	2,8	2,5	2,4	2,3	1,9	1,7	1,4
	120	3,9	3,1	2,7	2,5	2,3	2,2	1,8	1,6	1,3
	∞	3,8	3,0	2,6	2,4	2,2	2,1	1,8	1,5	1,0

	56	66	25	32	38	64	70	26	27	67	77	40	04	34	63	98	99	89	31	16	12	90	50	28	96
	88	40	52	02	29	82	69	34	50	21	74	00	91	27	52	98	72	03	45	65	30	89	71	45	91
	87	63	88	23	62	51	07	69	59	02	89	49	14	98	53	41	92	36	07	76	85	37	84	37	47
	32	25	21	15	08	82	34	57	57	35	22	03	33	48	84	37	37	29	38	37	89	76	25	09	69
	44	61	88	23	13	01	59	47	64	04	99	59	96	20	30	87	31	33	69	45	58	48	00	83	48
	94	44	08	67	79	41	61	41	15	60	11	88	83	24	82	24	07	78	61	89	42	58	88	22	16
	13	24	40	09	00	65	46	38	61	12	90	62	41	11	59	85	18	42	61	29	88	76	04	21	80
	78	27	84	05	99	85	75	67	80	05	57	05	71	70	31	31	99	99	06	96	53	99	25	13	63
	42	39	30	02	34	99	46	68	45	15	19	74	15	50	17	44	80	13	86	38	40	45	82	13	44
	04	52	43	96	38	13	83	80	72	34	20	84	56	19	49	59	14	85	42	99	71	16	34	33	79
93	82	85	77	30	16	69	32	46	46	30	84	20	68	72	98	94	62	63	59	44	00	89	06	15	87
93	38	48	84	88	24	55	46	48	60	06	90	08	83	83	98	40	90	88	25	26	85	74	55	80	85
	38	48	84	88	24	55	46	48	60	06	90	08	83	83	98	40	90	88	25	26	85	74	55	80	85
	91	19	05	68	22	58	04	63	21	16	23	38	25	43	32	98	94	65	35	35	16	91	07	12	43
	54	81	87	21	31	40	46	17	62	63	99	71	14	12	64	51	68	50	60	78	22	69	51	98	37
	65	43	75	12	91	20	36	25	57	92	33	65	95	48	75	00	06	65	25	90	16	29	34	14	43
	49	98	71	31	80	59	57	32	43	07	85	06	64	75	27	29	17	06	11	30	68	70	97	87	21
	03	98	68	89	39	71	87	32	14	99	42	10	25	37	30	08	27	75	43	97	54	20	69	93	50
	56	04	21	34	92	89	81	52	15	12	84	11	12	66	87	48	21	06	86	08	35	39	52	28	09
	48	09	36	95	36	20	82	53	32	89	92	68	50	88	17	37	92	02	23	43	63	24	69	80	91
	23	97	10	96	57	74	07	95	26	44	93	08	43	30	41	86	45	74	33	78	84	33	38	76	73
	43	97	55	45	98	35	69	45	96	80	46	36	39	96	33	60	20	73	30	79	17	19	03	47	28
	40	05	08	50	79	89	58	19	86	48	27	98	99	24	08	94	19	15	81	29	82	14	35	88	03
	66	97	10	69	02	25	36	43	71	76	00	67	56	12	69	07	89	55	63	31	50	72	20	33	36
	15	62	38	72	92	03	76	09	30	75	77	80	04	24	54	67	60	10	79	26	21	60	03	48	14
	77	81	15	14	67	55	24	22	20	55	36	93	67	69	37	72	22	43	46	32	56	15	75	25	12
	18	87	05	09	96	45	14	72	41	46	12	67	46	72	02	59	06	17	49	12	73	28	23	52	48
	08	58	53	63	66	13	07	04	48	71	39	07	46	96	40	20	86	79	11	81	74	11	15	23	17
	16	07	79	57	61	42	19	68	15	12	60	21	59	12	07	04	99	88	22	39	75	16	69	13	84
													93

	f 2					f 1
		1	2	3	4	5	6	12	24	∞
	22	4,3	3,4	3,1	2,8	2,7	2,6	2,2	2,0	1,8
	24	4,3	3,4	3,0	2,8	2,6	2,5	2,2	2,0	1,7
	26	4,2	3,4	3,0	2,7	2,6	2,4	2,1	1,9	1,7
	28	4,2	3,3	2,9	2,7	2,6	2,4	2,1	1,9	1,6
	30	4,2	3,3	2,9	2,7	2,5	2,4	2,1	1,9	1,6
	40	4,1	3,2	2,9	2,6	2,5	2,3	2,0	1,8	1,5
96	60	4,0	3,2	2,8	2,5	2,4	2,3	1,9	1,7	1,4
	120	3,9	3,1	2,7	2,5	2,3	2,2	1,8	1,6	1,3
	∞	3,8	3,0	2,6	2,4	2,2	2,1	1,8	1,5	1,0

	56	66	25	32	38	64	70	26	27	67	77	40	04	34	63	98	99	89	31	16	12	90	50	28	96
	88	40	52	02	29	82	69	34	50	21	74	00	91	27	52	98	72	03	45	65	30	89	71	45	91
	87	63	88	23	62	51	07	69	59	02	89	49	14	98	53	41	92	36	07	76	85	37	84	37	47
	32	25	21	15	08	82	34	57	57	35	22	03	33	48	84	37	37	29	38	37	89	76	25	09	69
	44	61	88	23	13	01	59	47	64	04	99	59	96	20	30	87	31	33	69	45	58	48	00	83	48
	94	44	08	67	79	41	61	41	15	60	11	88	83	24	82	24	07	78	61	89	42	58	88	22	16
	13	24	40	09	00	65	46	38	61	12	90	62	41	11	59	85	18	42	61	29	88	76	04	21	80
	78	27	84	05	99	85	75	67	80	05	57	05	71	70	31	31	99	99	06	96	53	99	25	13	63
	42	39	30	02	34	99	46	68	45	15	19	74	15	50	17	44	80	13	86	38	40	45	82	13	44
	04	52	43	96	38	13	83	80	72	34	20	84	56	19	49	59	14	85	42	99	71	16	34	33	79
93	82	85	77	30	16	69	32	46	46	30	84	20	68	72	98	94	62	63	59	44	00	89	06	15	87
93	38	48	84	88	24	55	46	48	60	06	90	08	83	83	98	40	90	88	25	26	85	74	55	80	85
	38	48	84	88	24	55	46	48	60	06	90	08	83	83	98	40	90	88	25	26	85	74	55	80	85
	91	19	05	68	22	58	04	63	21	16	23	38	25	43	32	98	94	65	35	35	16	91	07	12	43
	54	81	87	21	31	40	46	17	62	63	99	71	14	12	64	51	68	50	60	78	22	69	51	98	37
	65	43	75	12	91	20	36	25	57	92	33	65	95	48	75	00	06	65	25	90	16	29	34	14	43
	49	98	71	31	80	59	57	32	43	07	85	06	64	75	27	29	17	06	11	30	68	70	97	87	21
	03	98	68	89	39	71	87	32	14	99	42	10	25	37	30	08	27	75	43	97	54	20	69	93	50
	56	04	21	34	92	89	81	52	15	12	84	11	12	66	87	48	21	06	86	08	35	39	52	28	09
	48	09	36	95	36	20	82	53	32	89	92	68	50	88	17	37	92	02	23	43	63	24	69	80	91
	23	97	10	96	57	74	07	95	26	44	93	08	43	30	41	86	45	74	33	78	84	33	38	76	73
	43	97	55	45	98	35	69	45	96	80	46	36	39	96	33	60	20	73	30	79	17	19	03	47	28
	40	05	08	50	79	89	58	19	86	48	27	98	99	24	08	94	19	15	81	29	82	14	35	88	03
	66	97	10	69	02	25	36	43	71	76	00	67	56	12	69	07	89	55	63	31	50	72	20	33	36
	15	62	38	72	92	03	76	09	30	75	77	80	04	24	54	67	60	10	79	26	21	60	03	48	14
	77	81	15	14	67	55	24	22	20	55	36	93	67	69	37	72	22	43	46	32	56	15	75	25	12
	18	87	05	09	96	45	14	72	41	46	12	67	46	72	02	59	06	17	49	12	73	28	23	52	48
	08	58	53	63	66	13	07	04	48	71	39	07	46	96	40	20	86	79	11	81	74	11	15	23	17
	16	07	79	57	61	42	19	68	15	12	60	21	59	12	07	04	99	88	22	39	75	16	69	13	84
													93

	f 2					f 1
		1	2	3	4	5	6	12	24	∞
	22	4,3	3,4	3,1	2,8	2,7	2,6	2,2	2,0	1,8
	24	4,3	3,4	3,0	2,8	2,6	2,5	2,2	2,0	1,7
	26	4,2	3,4	3,0	2,7	2,6	2,4	2,1	1,9	1,7
	28	4,2	3,3	2,9	2,7	2,6	2,4	2,1	1,9	1,6
	30	4,2	3,3	2,9	2,7	2,5	2,4	2,1	1,9	1,6
	40	4,1	3,2	2,9	2,6	2,5	2,3	2,0	1,8	1,5
96	60	4,0	3,2	2,8	2,5	2,4	2,3	1,9	1,7	1,4
	120	3,9	3,1	2,7	2,5	2,3	2,2	1,8	1,6	1,3
	∞	3,8	3,0	2,6	2,4	2,2	2,1	1,8	1,5	1,0