Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методическое пособие 340

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

928 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1211 12 > Следующая >>>

Следовательно,

17,6

=6,22.

Оценим значимость коэффициентов по критерию Стьюдента:

(П.6.4)

to =

620 ≈100.

6,22

Аналогично

42,5

=6,83.

6,22

=11,25.

6,22

=8,03.

6,22

7,5

=1,2.

6,22

12,5

=2,01.

6,22

=2,41.

6,22

12,5

=2,01.

123

6,22

Табличное значение

критерия

Стьюдента (прил. 5) для уровня

значимости р = 0,05 и числа степеней свободы f

= 3 – 1 = 2 равно tp(f) = 4,3.

Как видим, t12 < tp(f); t13 < tp(f); t23 < tp(f);

t123 < tp(f), следовательно, ко-

эффициенты b12, b13, b23, b123 являются незначимыми и их можно исключить из уравнения регрессии. Тогда математическая модель имеет следующий окончательный вид (П.6.1).

Проверим адекватность полученного уравнения регрессии по критерию Фишера.

				S	2
	F =				ост	.		(П.6.5)
	F =			S2		.		(П.6.5)
				S2
				воспр
	8		( y j − yˆ j )2
		∑	( y j − yˆ j )2
S2	=	j=1					,	(П.6.6)
S2	=						,	(П.6.6)
оcт				N −l
				N −l

где l – число значимых коэффициентов в уравнении регрессии (П.6.1), l = 4.

101

yˆ1 =620 −42,5(−1) −70(−1) −50(−1) =783,8 кг/ м3; уj − yˆ j 2 =(800 −783,8)2 = 262.

ˆ		=	620	−	42,5(	− −	70(	− −	50(		+ =						3					− ˆ		2	=	(680		−	683,8)		2		=	16.
y	2		620		42,5(	1)	70(	1)	50(			1)	683,8 кг/ м						; y		j	y				(680			683,8)					16.
ˆ	2																				j	− ˆ	j								2
ˆ		=	620	−	− −		70(	+ −	50(		− =		643,8 кг/ м				3					− ˆ		2	=	(650		−	643,8)		2		=	36.
y			620		42,5(	1)	70(	1)	50(			1)	643,8 кг/ м						; y		j	y				(650			643,8)					36.
	3																				j		j
ˆ		=	620	−	42,5(	− −	70(	+ −	50(		+ =						3					− ˆ		2	=	(520		−	543,8)		2		=	566.
y	4		620		42,5(	1)	70(	1)	50(			1)	543,8 кг/ м						; y		j	y				(520			543,8)					566.
	4																				j		j
yˆ		=620 −42,5(+1) −70(−1) −50(−1) =											696,2 кг/ м					3				− yˆ		2	=(650 −				696,2)			2	= 2134.
yˆ		=620 −42,5(+1) −70(−1) −50(−1) =											696,2 кг/ м							; y	j	− yˆ			=(650 −				696,2)				= 2134.
ˆ	5																				j	− ˆ		j								2
ˆ		=	620	−	42,5(	+ −	70(	− −	50(		+ =		596,2 кг/ м					3				− ˆ		2	=	(630		−	596,2)			2	=		1142.
y	6		620		42,5(	1)	70(	1)	50(			1)	596,2 кг/ м							; y	j	y				(630			596,2)						1142.
	6																				j			j
ˆ		=	620	−	42,5(	+ −	70(	+ −	50(		− =		556,2 кг/ м					3				− ˆ		2	=	(580		−	556,2)			2	=		566.
y	7		620		42,5(	1)	70(	1)	50(			1)	556,2 кг/ м							; y	j	y				(580			556,2)						566.
	7	=		−	+ −			+ −			+ =					3					j	− ˆ		j	=	(		−		)2			=
y8		=		−	+ −			+ −			+ =					3				(y j		− ˆ		2	=	(		−		)2			=
y8			620		42,5(	1)	70(	1)	50(			1)	456,2 кг/м					;		(y j		y j )				450			456,2					36.
								8				− y€			) 2 = 2886.
								∑ (		y	j	− y€		j	) 2 = 2886.
								j =1			j			j
								j =1
											S2		=		2886 =721,5.
												оcт			8 −4
											Sвоспр2				=308,5.
											F = 721,5 =2,34.
												308,5
			Табличное значение критерия Фишера для р = 0,05, f1																								= 8 – 4 = 4,
f2 = 3 – 1 = 2.

F1-р (f1f2) = 19,3.

F < F1-р (f1f2). 2,34 < 19,3.

Следовательно, полученное уравнение регрессии адекватно описывает эксперимент.

Для того, чтобы осуществить дальнейшую интерпретацию полученной математической модели, следует в уравнении регрессии переменные в кодовом выражении хi заменить на натуральные Хi, используя (5.2).

Вывод. Для рассмотренного примера линейная модель адекватно отражает действие факторов на плотность поризованного бетона.

102

ПРИМЕР 2. В соответствии с композиционным планом 23, содержащим дополнения в виде «звездных» точек, выполнены исследования по определению оптимальных дозировок добавок, применяемых совместно. Критерием оптимизации является прочность цементного камня при сжатии.

Обозначим:

Х1 – содержание микрокремнезема М-85 в количестве от 15 % до 25 % от массы цемента;

Х2 – содержание каменной муки, полученной из габбро-диабаза в количестве от 30 % до 70 % от массы цемента;

Х3 – дозировка органического разжижителя «Полипласт СП-1», которая изменяется от 1 % до 1,6 % от массы твердой фазы.

Уровни варьирования факторов (дозировок добавок) в натуральных единицах с учетом «звездного» плеча представлены в табл. П.6.2.

Таблица П.6.2

Уровни варьирования факторов и величина «звездного» плеча

Условное	Факторы и «звездное» плечо в натуральных единицах
обозначение
уровней факто-	Х1		Х2	Х3
ров
и «звездного»
плеча
Хimax	25		70	1,6
Хi0	20		50	1,3
Хimin	15		30	1,0
αн	26,075		74,3	1,66
+
-αн	13,925		25,7	0,94
Величина «звездного» плеча в натуральных единицах рассчитывается
по формуле	± αн =	Хi0 ± α ∆Хi ,		(П.6.7)
	± αн =	Хi0 ± α ∆Хi ,		(П.6.7)

где α - табулированное значение «звездного» плеча при числе факторов k = 3 и числе опытов в центре плана n0 = 1; в данном примере α = 1,215;

∆Хi – интервал варьирования изучаемых факторов в натуральных единицах.

Композиционный план 23 в матричной форме с дополнением в виде «звездных» точек представлен в табл. П.6.3.

103

Таблица П.6.3

Композиционный план 23 в матричной форме с дополнением в виде «звездных» точек (информационная матрица планирования эксперимента)


			План эксперимента										Отклик
	Номер	х0				х1 х2	х1 х3	х2 х3	х1 х2х3	x12	x2	x2	y j ,
	Номер												y j ,
	опыта												МПа
	опыта		х1	х2	х3						2	3	МПа
			х1	х2	х3

	1	+1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	-1	+1	+1	+1	74,8

104	2	+1	-1	+1	-1	-1	+1	-1	+1	+1	+1	+1	85,1
104

	3	+1	-1	-1	+1	+1	-1	-1	+1	+1	+1	+1	78,7

	4	+1	-1	+1	+1	-1	-1	+1	-1	+1	+1	+1	86,7

	5	+1	+1	-1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	+1	+1	77,1

	6	+1	+1	+1	-1	+1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	63,4

	7	+1	+1	-1	+1	-1	+1	-1	-1	+1	+1	+1	75,2

	8	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	71,6

	9	+1	α	0	0	0	0	0	0	α2	0	0	74,0
			+
							104

												Окончание табл. П.6.3


				План эксперимента										Отклик
		Номер	х0				х1 х2	х1 х3	х2 х3	х1 х2х3	x12	x2	x2	y j ,
		Номер												y j ,
		опыта		х1	х2	х3								МПа
		опыта		х1	х2	х3						2	3	МПа

	10		+1	-α	0	0	0	0	0	0	α2	0	0	77,6

	11		+1	0	α	0	0	0	0	0	0	α2	0	59,0
					+

	12		+1	0	-α	0	0	0	0	0	0	α2	0	64,4
105
105	13		+1	0	0	α	0	0	0	0	0	0	α2	49,7
						+

	14		+1	0	0	-α	0	0	0	0	0	0	α2	52,1
	15		+1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	71,8


	16		+1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	76,5

	17		+1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	76,7

105

															Таблица П.6.4
			Ортогональная (расчетная) матрица для k = 3,						n0 = 1 с дополнением в виде «звездных» точек


				План эксперимента											От-			Расчет-
		Номер	х0				х1 х2	х1 х3		х2 х3	х1 х2х3	x1′	x2′	x3′	клик			ное зна-
		Номер													клик			ное зна-
		опыта													y	j	,	чение
		опыта		х1	х2	х3										j		отклика
				х1	х2	х3									МПа			отклика
																		yˆ j ,
																		МПа
	1		+1	-1	-1	-1	+1	+1		+1	-1	0,27	0,27	0,27	74,8			72,94

106	2		+1	-1	+1	-1	-1	+1		-1	+1	0,27	0,27	0,27	85,1			81,74
106

	3		+1	-1	-1	+1	+1	-1		-1	+1	0,27	0,27	0,27	78,7			72,94

	4		+1	-1	+1	+1	-1	-1		+1	-1	0,27	0,27	0,27	86,7			81,74

	5		+1	+1	-1	-1	-1	-1		+1	+1	0,27	0,27	0,27	77,1			74,08

	6		+1	+1	+1	-1	+1	-1		-1	-1	0,27	0,27	0,27	63,4			65,28

	7		+1	+1	-1	+1	-1	+1		-1	-1	0,27	0,27	0,27	75,2			74,08

	8		+1	+1	+1	+1	+1	+1		+1	+1	0,27	0,27	0,27	71,6			65,28

	9		+1	+1,215	0	0	0	0		0	0	0,75	-0,73	-0,73	74,0			75,64

								106
								106

107

Окончание табл. П.6.4


			План эксперимента										Отклик	Расчетное
	Номер	х0				х1 х2	х1 х3	х2 х3	х1 х2х3	x1′	x2′	x3′	y j ,	значение
	Номер												y j ,	значение
	опыта		х1	х2	х3								МПа	отклика
	опыта												МПа	yˆ j , МПа
														yˆ j , МПа
10		+1	-1,215	0	0	0	0	0	0	0,75	-0,73	-0,73	77,6	84,94

11		+1	0	+1,215	0	0	0	0	0	0,73	0,75	-0,73	59,0	59,26

12		+1	0	-1,215	0	0	0	0	0	0,73	0,75	-0,73	64,4	59,26

13		+1	0	0	+1,215	0	0	0	0	0,73	-0,73	0,75	49,7	59,26

14		+1	0	0	-1,215	0	0	0	0	0,73	-0,73	0,75	52,1	59,26

15		+1	0	0	0	0	0	0	0	0,73	-0,73	-0,73	71,8	59,26

16		+1	0	0	0	0	0	0	0	0,73	-0,73	-0,73	76,5	59,26

17		+1	0	0	0	0	0	0	0	0,73	0,73	-0,73	76,7	59,26

107

Выполним обращение информационной матрицы в ортогональную путем линейного преобразования квадратичных столбцов хi2 , используя форму-

лу

		N =15
	хi′ = хi2 −xi2 = xi2 −	j∑=1xij	.	(П.6.8)

Имеем при N = 15, k = 3, α = 1,215		N

x2	= (+1)2 8+(1,215)2 2 +(0)2 5 =10,952			=0,73,
i	15	15

следовательно, для опытов 1 – 8 ортогональной матрицы xi′будет равно xi′ =(+1)2 −0,73 =0,27.

Для опытов, содержащих «звездное» плечо, имеем: xi′ =(1,215)2 −0,73 =0,75,

а во всех опытах, содержащих «нулевую» точку, можем записать: xi′ =(0)2 −0,73 =−0,73.

Тогда ортогональная (расчетная) матрица будет иметь следующий вид

(табл. П.6.4).

Соответственно выполненным преобразованиям квадратичных векто- ров-столбцов полиномиальное уравнение регрессии примет вид

y =b0 +b1x1 +b2 x2 +b3 x3 +b12 x1x2 +b13x1x3 +b23 x2 x3 +b123 x1x2 x3 +

(П.6.8)

+b (x2

−x 2 ) +b (x2

−x 2 ).

Независимые оценки коэффициентов (П.6.5), рассчитанные по формуле

∑x

j=1 ij

(П.6.9)

∑x2

j=1

будут равны

b = (+1)74,8 +(+1)85,1+(+1)78,7 +(+1)86,7 +(+1)77,1+(+1)63,4 +

+(+1)75,2 +(+1)71,6 +(+1)74,0 +(+1)77,6 +(+1)59,0 +(+1)64,4 +(+1)49,7

+(+1)52,1+(+1)71,8 =1061,2

=70,75;

Остальные коэффициенты уравнения регрессии рассчитываются анало-

гично.

4197

b =−

=−3,83;

10,952

=−

5,96

=−0,54;

10,952

108

b3 =108,,95248 =0,77; b12 =−128,8 =−1,6;

b13 =18,2 =0,15;

b23 =−08,6 =−0,075; b123 = 358,2 =4,4; b11 = 624,37,29 =14,25;

b22 = 421,37 =4,8;

b33 =−144,,3773 =−3,37.

Тогда полиномиальное уравнение регрессии примет вид:

у=70,7 −3,83х1 −0,54х2 +0,77х3 −1,6х1х2 +0,15х1х3 −0,075х2 х3 +

+4,4х1х2 х3 +14,25(х12 −0,73) +4,8(х22 −0,73) −3,37(х32 −0,73) = 70,7 −3,83х1 −0,54х2 +0,77х3 +1,6х1х2 +0,15х1х3 −0,075х2 х3 +

+4,4х1х2 х3 +14,25х12 −10,4 +4,8х22 −3,5−3,37х32 +2,46 =59,26 −

−3,83х10,54х2 +0,77х3 −1,6х1х2 +0,15х1х3 −0,075х2 х3 +4,4х1х2 х3 + 14,25х12 −4,8х22 −3,37х32.

Полученная математическая модель отражает зависимость прочности цементного камня от изучаемых факторов: бинарного микронаполнителя и добавки поверхностно-активного вещества.

Выполним дисперсионный анализ и вначале проверим значимость полученных коэффициентов математической модели по критерию Стьюдента.

Для этого найдем дисперсию воспроизводимости Sвоспр2 , используя результаты трех опытов, выполненных на «нулевом» уровне (опыты 15 - 17).

Среднее значение результатов этих опытов равно
		у	0	= 71,8 +76,5 +76,8	=75 МПа.
			0	3
S 2	=	(71,8		−75)2 +(76,5 −75)2 +(76,7 −75)2		=7,69.
S 2	=			3−1		=7,69.
воспр				3−1

Тогда

Sвоспр = 7,69 =2,77.

Ошибка Sbi для коэффициента b0 равна

109

2,77

=0,71.

Соответственно для коэффициентов b1, b2, b3 имеем

Sb = Sb

= Sb

2,77

=0,83,

10,952

а для коэффициентов b12, b13, b23

2,77

= Sb

=0,97.

Ошибка для коэффициента Sb

равна

123

= 2,77

=0,97.

123

И, наконец, для коэффициентов при квадратичных членах уравнения

регрессии имеем

2,77

= Sb

=1,3.

4,37

Коэффициент Стьюдента соответственно будет равен

to =

59,26

=83,5;

0,71

3,83

=4,6;

0,83

0,04

=0,62;

0,83

0,77

=0,92;

0,83

1,6

=1,6;

0,97

0,15

=0,15;

0,97

0,075

=0,077;

0,97

4,4

=4,5;

0,97

123

14,25

=10,96;

1,3

4,8

=3,7;

1,3

3,37

=2,9.

1,3

110

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1211 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.2022911.27 Кб2Методическое пособие 337.pdf
#
30.04.2022925.04 Кб5Методическое пособие 338.pdf
#
30.04.2022926.78 Кб2Методическое пособие 339.pdf
#
30.04.2022573.44 Кб2Методическое пособие 34.doc
#
30.04.2022262.9 Кб2Методическое пособие 34.pdf
#
30.04.2022928 Кб9Методическое пособие 340.pdf
#
30.04.2022932.4 Кб3Методическое пособие 341.pdf
#
30.04.2022934.66 Кб4Методическое пособие 342.pdf
#
30.04.2022939.2 Кб5Методическое пособие 343.pdf
#
30.04.2022947 Кб4Методическое пособие 344.pdf
#
30.04.2022947.16 Кб3Методическое пособие 345.pdf