2.3. Динамика материальной точки

Динамика занимается изучением механического движения материальных тел (точек) под действием приложенных к ним сил. В основе динамики лежат три закона Ньютона.

Первый закон Ньютона гласит, что существуют такие системы отсчета, называемые инерциальными, относительно которых тело покоится или движется равномерно и прямолинейно до тех пор, пока на него не действуют другие тела или действие других тел компенсируется.

Ускорение тела возникает только под воздействием других тел и зависит от инертности тела. Инертностью тела называется его способность сопротивляться изменению скорости в результате взаимодействия с другими телами. Масса тела m – это скалярная положительная величина, являющаяся мерой инертности тела. Неинерциальными называются системы отсчета, которые движутся ускоренно относительно инерциальных систем. Импульсом тела называют векторную величину, равную произведению массы тела на его скорость, много меньшую скорости света в вакууме, и являющуюся количественной мерой поступательного движения тела:

= m .

Силой , действующей на тело массой m при его взаимодействии с силами с другими телами, называется векторная величина , являющаяся результирующей мерой воздействия этих тел и равная , где – ускорение, сообщенное этой силой телу в инерциальной системе отсчета. Более общее определение силы имеет вид: = Изменение импульса точки под действием силы равно: . Выражение называется импульсом силы и является количественной мерой воздействия с силой одного тела (системы тел) на другое за время действия силы dt. Средняя по времени сила равна

=

Второй закон Ньютона утверждает, что ускорение приобретаемое телом, совпадает по направлению с действующей на него силой и равно отношению этой силы к массе тела.

Если на материальную точку одновременно действуют N тел с силами , …, , то ускорение тела определяется равнодействующей (или результирующей) силой, равной векторной сумме этих сил :

= : или = = .

Второй закон Ньютона называют уравнением движения тела, так как он позволяет рассчитать движение тела или системы тел, если известна зависимость сил взаимодействия между телами от их взаимного расположения и скоростей.

Третий закон Ньютона утверждает, что силы и , с которыми действуют друг на друга два взаимодействующих тела А и В, направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны и равны между собой по модулю:

= - .

Если тела не находятся в непосредственном контакте, то они взаимодействуют друг с другом посредством силовых полей (электромагнитных, гравитационных, ядерных и др.), являясь при этом источниками полей.

Силовое поле, часть пространства, в каждой точке которой на помещенную туда материальную точку действует сила. Силовое поле называется стационарным, если оно создано неподвижными источниками. Силовое поле называется центральным, если сила, действующая со стороны поля на помещенную в него материальную точку, направлена в сторону центра поля, а величина силы зависит только от расстояния до этого центра. Если сила одинакова во всех точках поля = const, то поле называется однородным. Силовое поле, в котором работа сил поля, действующих на перемещающуюся в нем материальную точку, зависит только от начального и конечного положения точки и не зависит от вида ее траектории, называется потенциальным.

Виды силового взаимодействия. Все многообразие действующих в природе сил можно свести к нескольким фундаментальным силам. В современной физике различают четыре вида фундаментального взаимодействия: гравитационное, слабое, электромагнитное и сильное.

Закон всемирного тяготения (поле тяготения). Две точечные массы m, M, находящиеся на расстоянии r друг от друга, притягиваются с силой тяготения (гравитационной силой), равной

F = γ ,

где γ ≈ 6, 67 · 10ˉ¹¹ Н · м² / кг² - гравитационная постоянная. Сила тяготения – центральная сила, которая действует вдоль линии, соединяющей частицы.

Если предположить, что гравитационное поле создается неподвижной массой М, радиус-вектор направлен от М к m, то силу, действующую на материальную точку с массой m, выступающую в роли ‘’пробной массы‘’ в поле тяготения, можно записать в векторном виде:

= - γ

где знак « - » означает, что сила и радиус-вектор направлены в противоположные стороны.

Масса, входящая в выражение второго закона Ньютона, характеризует инерционные свойства материальной точки и называется ее инертной массой.

Масса материальной точки, входящая в выражение закона всемирного тяготения, также характеризует свойства этой точки и называется ее гравитационной массой.

Потенциальную энергию точки в центральном поле тяготения можно найти из соотношения

E = - γ

Удельные значения силы и энергии не зависят от величины m и представляют собой характеристики поля, соответственно, напряженность поля тяготения (представляет собой ускорение свободного падения = точечной массы m в данной точке поля) и потенциал поля φ =

Сила, напряженность и потенциал поля тяготения, создаваемого несколькими массами, вычисляются с помощью принципа суперпозиции.

Однако для практических целей при решении механических задач удобно пользоваться нефундаментальными силами: силой тяжести, силой упругости, силой трения.

Сила тяжести и вес тела. Силой тяжести называется сила , приближенно равная силе гравитационного притяжения к Земле любой материальной точки, находящейся вблизи ее поверхности. Сила тяжести всегда направлена вертикально вниз по нормали к данной точке земной поверхности. Под действием силы тяжести тело движется с ускорением свободного падения . На основе второго закона Ньютона для падающего тела массой m можно записать уравнение движения в виде: = m .

На основании точных экспериментов установлено, что для всех тел отношения их инертных масс к гравитационным одинаковы. Поэтому при соответствующем выборе величины гравитационной постоянной можно считать, что для любого тела его инертная и гравитационная массы равны друг другу и связаны с силой тяжести этого тела соотношением m = , где – ускорение свободного падения.

Весом тела называется сила , с которой тело действует на опору или подвес из-за гравитационного притяжения к Земле. Под реакцией опоры (или подвеса) понимается сила , с которой опора или подвес действуют на тело, ограничивая его движение. Величина силы тяжести и веса тела зависит от удаления тела от центра Земли. Сила тяжести равна весу тела

= только в том случае, когда ускорение тела относительно Земли равно нулю (тело относительно Земли неподвижно или движется с постоянной скоростью). В противном случае = m ( ± ), где – ускорение тела вместе с опорой (подвесом) относительно Земли. При свободном падении тела его вес равен нулю и тело находится в состоянии невесомости.

Силы упругости возникают в результате взаимодействия тел, сопровождающегося их деформацией, то есть изменением взаимного расположения частиц тела, приводящим к изменению конфигурации тела и к возникновению механических напряжений. Величина, равная отношению силы к площади поверхности, на которую действует сила, называется напряжением. Если сила направлена по нормали к поверхности, напряжение называется нормальным. Если сила направлена по касательной к поверхности, на которую она действует, напряжение называется тангенциальным. Если после прекращения действия сил тело восстанавливает первоначальные размеры и форму, деформация называется упругой. Деформации, сохраняющиеся в теле, после прекращения действия приложенных к нему сил, называются пластическими.

Сила упругости – квазиупругая сила , возникающая в процессе деформации тела, пропорциональна смещению частиц тела из положения равновесия и направлена к положению равновесия :

= - k ,

где – радиус-вектор, характеризующий смещение частиц, а k – коэффициент упругости тела.

Силы трения появляются при перемещении соприкасающихся поверхностей (или слоев) относительно друг друга и направлены по касательной к трущимся поверхностям (слоям) так, что противодействуют относительному смещению этих поверхностей (слоев). Выделяют силы сухого трения (сила трения покоя, сила трения скольжения) и силы вязкого трения ( силы сопротивления движению тела в жидкости и газе, или силы сопротивления между отдельными слоями жидкости (газа)). Сила трения скольжения (действует на движущееся тело):

Р ис. 18

= k , где k – коэффициент трения скольжения, – сила, нормального давления. Сила трения покоя (действует на поверхность): ' ≤ k , где k – коэффициент трения покоя, который можно считать равным k = k (рис.19). Величины коэффициентов k и k зависят от шероховатости поверхностей и изменяются приблизительно в интервале значений от 0,01 до 0, 85. В случае скольжения коэффициент трения является функцией скорости. На рис.19 приведен график зависимости сухого трения от скорости движения тела. Если внешняя сила превзойдет по величине F , то тело начинает скользить, причем его ускорение определяется результирующей двух сил: и , которая, в свою очередь, зависит от скорости скольжения.

При качении тела уменьшается величина коэффициента трения, а зависимости для силы трения качения остаются такими же как и для трения скольжения.

Р ис. 19

С ила сопротивления движению тела в жидкости или газе зависит от скорости и поперечных размеров тела. При малых скоростях и малых размерах тела сила пропорциональна скорости (сила вязкого трения), при больших скоростях –квадрату скорости тела.

Рис. 20

Рассмотрим пример решения задачи на динамику материальной точки.

Пример 1. Самолет движется со скоростью в горизонтальной плоскости, описывая окружность радиуса r. Определить: 1) на какой угол должен наклониться самолет при вираже; 2) какую перегрузку испытывает летчик.

Решение: В процессе виража на самолет (летчика) действует сила реакции воздуха = + и сила тяжести = m . Так как по вертикали ускорения самолета нет, то силы и уравновешивают друг друга. Сила сообщает самолету нормальное центростремительное ускорение. За угол наклона самолета принимается угол между векторами и . Перегрузка вычисляется как n = . Получается, что можно записать следующие соотношения:

tg = , R = , R = mg и, следовательно, tg = , откуда можно вычислить величину угла наклона .

Перегрузка определяется из уравнения n = = .