2.2. Кинематика абсолютно твердого тела

В механике твердым телом называют тело, расстояние между любыми двумя точками которого не меняется (то есть отсутствуют деформации). Выделяют два простых движения твердого тела – поступательное и вращательное.

При поступательном движении прямая линия, соединяющая любые две точки тела, перемещается, оставаясь параллельной себе.

При вращательном движении все точки твердого тела движутся по окружностям, центры которых лежат на прямой, называемой осью вращения. Линейные скорости v всех точек перпендикулярны оси вращения. Угловые скорости ω всех точек в каждый момент времени одинаковы. Распределение линейных скоростей точек тела можно представить с помощью векторного произведения v = [ ω, r ], где радиусы-векторы r проводятся из любой точки О на оси вращения (рис. 16).

Рис. 16

П лоское движение твердого тела, например, качение обруча без проскальзывания со скоростью v (скорость точки О), является более сложным движением. При плоском движении векторы линейных скоростей всех точек тела параллельны некоторой плоскости ВАСО′ (рис. 17). В процессе плоского движения любая точка тела движется поступательно со скоростью v = v и одновременно вращается с определенной скоростью v вокруг так называемой мгновенной оси вращения, проходящей через точку О′ перпендикулярно плоскости рисунка. Скорость любой точки относительно земли можно найти по закону сложения скоростей.

Рис. 17

В табл. 3 дано сопоставление уравнений поступательного и вращательного движений твердого тела.

Таблица 3

Вид движения	Поступательное	Вращательное
Равномерное	s = v t v = const a = o	φ = ω t ω = const ε = 0
Равнопеременное	s = v t ± v = v ± a t a = const	φ = ω t ± ω = ω ± ε t ε = const
Переменное	s = f (t) v = a =	φ = f (t) ω = ε =

Рассмотрим пример криволинейного движения твердого тела.

Пример 1. Колесо радиуса r вращается ускоренно так, что число оборотов возрастает на n оборотов за каждую секунду. Найти к концу m-той секунды: угловую скорость колеса, линейную скорость точек на его ободе, нормальное, тангенциальное и полное ускорение точек на ободе.

Решение: Число оборотов n к концу m-той секунды равно n = n m. Угловая скорость определяется по формуле = 2 n . Линейная скорость точек на ободе колеса вычисляется как v = R = 2 n R. Нормальное ускорение равно а = R = 4 n R. Тангенциальное ускорение a найдем на основании утверждения, что скорость v возрастает равномерно со временем, следовательно, для него, как для случая равнопеременного движения, должно иметь место равенство v = a t, откуда

a = 2 n R.

Полное ускорение определяется из равенства

а а + а . Направление полного ускорения определяется углом , который вычисляется из равенства sin = a / a