5.2 Понятие о расчете оболочки произвольной формы

При изучении оболочек произвольной формы в общем случае пользуются системой криволинейных координат. Для оболочек вращения применяют цилиндрическую или сферическую системы.

При цилиндрической системе (рис. 80) за координаты принимаются: расстояние z по вертикали, отсчитываемое от точки О, определяющее параллель П, и угол , отсчитываемый от начальной плоскости у0z, определяющий положение плоскости BOA, в которой лежит меридиан М. Пересечение параллели П и меридиана М определяет положение точки К на поверхности. Радиус R представляет собой функцию от z.

Рис. 80

При сферической системе за координаты принимаются: угол , отсчитываемый в плоскости BOA от вертикальной оси z, определяющий положение параллели П, и угол , определяющий положение меридиана М. Радиус  представляет собой функцию от .

Выделим из оболочки, нагруженной непрерывно распределенной нагрузкой, элемент АОВ (рис. 81,а) двумя парами смежных взаимно ортогональных сечений, содержащих главные кривизны оболочки. Обозначим через R₁ и R₂ соответствующие радиусы главных кривизн. Взаимно перпендикулярные оси х и у направим по касательным в точке О к линиям главных кривизн, а ось z  по нормали к срединной поверхности в точке О. На элемент АОВ действуют десять погонных усилий (рис. 81,б): изгибающие моменты М_х и M_y, крутящие моменты Н_х и Н_у, продольные силы N_x и N_y, поперечные силы Q_х и Q_y и сдвигающие силы Т_xу и Т_уx.

Рис. 81 а)

Рис. 81 б)

Так как элемент выделяется взаимно ортогональными плоскостями, нормальными к срединной поверхности, в пересечении плоскостей с оболочкой образуются фигуры, имеющие разные длины волокон в зависимости от длины радиусов R₁ и R₂. Размер волокна длиной, равной единице (рис. 82), на расстоянии z от срединной поверхности с радиусом R после деформации окажется

Поэтому для погонных усилий, действующих по граням выделенного элемента АОВ (см. рис. 81,б и 82), можно составить такие выражения:

Рис. 82

(5.1)

При переходе от одной грани выделенного элемента к соседней, расположенной на расстоянии dS₁ или dS₂ (рис. 81,а) от первой, необходимо учитывать приращение усилий.

Вследствие того, что трапеции, образующие боковые грани элемента, различны, сдвигающие силы Т_xу и Т_уx не равны между собой, несмотря на справедливость закона парности _ху = _уx касательных напряжений. Однако обычно толщина h, а, следовательно, и расстояние z малы по сравнению с радиусами R₁ и R₂, поэтому отношения и малы по сравнению с единицей и могут быть сразу отброшены. Тогда

,

т. е. закон парности сдвигающих усилий становится действительным.

Для решения статически неопределимой задачи о напряженном состоянии можно составить следующие уравнения:

1. Пять дифференциальных уравнений равновесия, представляющих собой суммы проекций всех сил, действующих на элемент, на оси Ох, Оу и Оz и суммы моментов этих сил относительно осей Ох и Оу. Уравнение равновесия в виде суммы моментов всех сил относительно оси Оz превращается в тождество 0 = 0 на основании закона парности касательных напряжений.

2. Три геометрических дифференциальных уравнения, связывающих относительные деформации _x, _y и _xy с составляющими перемещениями u₀, v₀ и w₀ срединной поверхности, и три геометрических дифференциальных уравнения, связывающих величины _x и _y, характеризующие изменения кривизны срединной поверхности, и величину , характеризующую ее кручение, с составляющими u₀, v₀ и w₀. Появление перемещений _x, _y и  связано с тем, что элемент оболочки под нагрузкой получает дополнительное искривление.

3. Шесть уравнений, аналогичных закону Гука для пластины, связывающих между собой соответствующие усилия с составляющими деформациями.

Таким образом, для нахождения восьми усилий М_х, M_y, Q_x, Q_y, H_x = Н_у, N_x, N_y, Т_xу = Т_уx, шести составляющих перемещений u₀, v₀, w₀, _x, _y и  и трех относительных деформаций _x, _y и _xy, т. е. семнадцати неизвестных, имеем 5 + + 3 + 3 + 6 = 17 уравнений.

Число граничных условий для каждой кромки вырезанного элемента равно четырем. Они могут быть геометрическими (равенство нулю перемещений и, v и w), статическими (равенство нулю погонных усилий М, Q, N и Т) или смешанными. Например, для свободно опертой кромки ( = const, рис. 83) можно написать смешанные условия: и = 0, w = 0, М_x = 0, N_x = 0. Общее число условий равно числу произвольных постоянных, получающихся при интегрировании дифференциальных уравнений.

Рис. 83

Решение системы семнадцати уравнений при заданных граничных условиях в общем виде в ряде случаев не может быть получено. Поэтому пользуются обычно решениями для частных случаев формы оболочки и ее нагружения, дающих возможность упростить общие уравнения.

Одно из простых решений получается в тех случаях, когда напряжениями изгиба можно пренебречь, учитывая лишь напряжения, связанные с деформацией срединной поверхности. Соответствующая теория называется безмоментной или мембранной. Она применима в тех случаях, когда радиусы срединной поверхности изменяются плавно, оболочка не имеет переломов и резких изменений толщины. Нагрузка, действующая на оболочку, тоже должна изменяться плавно или быть постоянной.

По безмоментной теории предполагается, что изгибающие и крутящие моменты, а также поперечные силы отсутствуют, т.е.

M_x = M_y = H = Q_x = Q_y = 0,

и остаются лишь продольные силы N_x и N_y и сдвигающие силы Т_xy = Т_yx.

В случае, если оболочка представляет собой оболочку вращения и нагрузка симметрична относительно оси вращения и нормальна к срединной поверхности оболочки, сдвигающие силы Т_xу = Т_ух также отсутствуют и остаются только продольные силы; меридиональные N_m и окружные N_T.

При постоянной интенсивности давления q и постоянных радиусах R₁ и R₂ главных кривизн меридиональные, так же как и окружные погонные силы N_m и N_T, одинаковы во всех точках и напряженное состояние оболочки однородное.