Глава 3 толстостенные трубы

3.1 Общие сведения. Уравнение равновесия элемента трубы

Если толщина стенки трубы, нагруженной радиальной нагрузкой, превышает 0,1 радиуса геометрической оси стенки, труба считается толстостенной. Распределение напряжений по толщине стенки такой трубы нельзя считать равномерным; радиальные перемещения отдельных точек стенки трубы зависят от их расстояния r до оси трубы.

С помощью теории расчета толстостенных труб определяются напряжения и перемещения в точках стенок цилиндров машин, стволов орудий, при температурных или прессовых посадках рубашек, муфт и ступиц на валы, а также в облицовках тоннелей и стволов, подверженных горному давлению.

Рассмотрим отрезок трубы длиной, равной единице, вырезанный двумя сечениями, нормальными к оси трубы (рис. 30,а). Труба нагружена на внутренней и наружной поверхностях радиальной сжимающей нагрузкой; интенсивности р_В и р_Н этой нагрузки постоянны как вдоль оси трубы, так и по ее окружности. Любой такой отрезок на некотором расстоянии от торцов трубы находится в плоском деформированном состоянии.

Составим уравнение равновесия элемента трубы, выделенного двумя радиальными сечениями, составляющими между собой угол d, и двумя окружными сечениями, радиусы которых r и r + dr (рис. 30,б). По граням этого элемента действуют радиальные и окружные напряжения _r и . Радиальное напряжение при изменении радиуса r получает приращение , а окружное напряжение в силу осевой симметрии задачи при изменении угла  не меняется.

а)

б)

Рис. 30

Дифференциальное уравнение равновесия (1.32,б) для осесимметричной задачи имеет вид

. (3.1)

Напряжения выразим через относительные линейные деформации с помощью закона Гука:

, (3.2)

а относительные деформации заменим их выражениями через радиальное перемещение v (рис. 30,б), пользуясь зависимостями

.

Подставив эти выражения в формулу (3.2), а выражения (3.2) в формулу (3.1), получим выражения для напряжений и дифференциальное уравнение равновесия элемента трубы в перемещениях

, (3.3)

. (3.4)

Уравнение (3.4) может быть представлено в виде

,

откуда следует, что

Этому уравнению удовлетворяет решение

. (3.5)

Заменив в формулах (3.3) перемещение v его выражением (3.5), получим для напряжений:

. (3.6)

Граничные условия для определения постоянных А и В составляем из условий на внутренней и наружной поверхностях трубы:

1) r = R_B, _r = - p_B; 2) r = R_H, _r = - p_H.

Учет этих условий в первом уравнении (3.6) дает систему двух уравнений, содержащих А и В, решив которую, найдем

.

Подстановка найденных значений А и В в уравнения (3.6) дает следующие выражения для напряжений:

,(3.7)

а подстановка в уравнение (3.5)  выражение для радиального перемещения

(3.8)

В формулах (3.7) и (3.8)

Из формул (3.7) видно, что

т. е. сумма радиального и окружного напряжений в любой точке есть постоянная величина, не зависящая от радиуса r.

По формулам (3.7) и (3.8) можно вычислить напряжения и радиальные перемещения для сплошного вала, подверженного наружному радиальному давлению, если положить R_B = 0. В таком случае

откуда видно, что материал вала испытывает однородное напряженное состояние.