1.13 Решение задач в перемещениях

Из уравнения (1.24) с помощью (1.15) имеем:

(1.40)

где

Дифференцируя (1.40) и внося производные в первое уравнение (1.2), имеем:

. (1.41)

Выражение в первой скобке может быть записано так:

.

Аналогично можно преобразовать и другие два уравнения (1.2), но можно и сразу написать результат, сделав круговую подстановку букв.

Итак, приходим к следующей системе основных уравнений метода перемещений теории упругости:

. (1.42)

Эти уравнения носят название уравнений Ляме. Они являются синтезом статического, геометрического и физического обследований задачи.

Поверхностные условия также можно преобразовать, выразив напряжения через перемещения.

Подставив в первое уравнение (1.4) на место напряжений выражения для них в форме (1.40), имеем:

. (1.43)

Уравнения (1.42) совместно с условиями на поверхности (1.43) позволяют перейти к решению задач теории упругости в перемещениях.

1.14 Решения задач в напряжениях

В противоположность приему, принятому в предыдущем разделе, когда во всех преобразованиях преследовали цель выразить неизвестные через перемещения, можно поставить другую: все выражать через напряжения. Сообщим окончательные результаты и ограничимся случаем статического равновесия тела при условии отсутствия объемных сил или их постоянства.

Трех условий равновесия (1.2) недостаточно, и надо обратиться к условиям неразрывности деформаций (1.17,а) и (1.17,б). Так как в последние входят деформации, их необходимо выразить через напряжения с помощью (1.24). Выполнив эту подстановку и пользуясь одновременно уравнениями равновесия (1.2), уравнения неразрывности преобразуют к следующему виду (уравнения Бельтрами):

(1.44)

где  = 3_ср.= _х + _у + _z .

Таким образом, для решения задачи придется проинтегрировать девять уравнений (1.2), (1.44), а входящие в общие решения этих уравнений произвольные функции определить из условий на поверхности (1.4).

1.15 Случай температурного поля

Если элементарный параллелепипед, предположить подверженным только тепловому воздействию, то его деформация характеризовалась бы следующими компонентами:

где а – коэффициент линейного теплового расширения и Т — температура. Будем полагать, что рассматриваемое температурное поле не слишком высокое, чтобы могли измениться упругие характеристики материала (в частности  модуль упругости).

При одновременном наличии компонентов напряжений и теплового эффекта, компоненты деформации, используя (1.20), запишем так:

. (1.45)

Если в первых трех выражениях аТ перевести в левую часть равенств и обозначить

то уравнения (1.45) примут вид, сходный с (1.20) с заменой _x на , _y на и _z на .

В таком случае можно использовать вариант обобщенного закона Гука. Тогда получим:

. (1.46)

где .

Компоненты уравнений теории упругости для решения такой задачи будут складываться из прежних дифференциальных уравнений равновесия (1.2), прежних геометрических уравнений (1.15), прежних условий на границе (1.4) и новых физических уравнений (1.45) или (1.46), составленных для случая теплового эффекта.

Эти уравнения можно переписать в виде:

. (1.47)

Если теперь проделать выкладки, как в разделе 1.13, то взамен (1.42) придем к уравнениям

(1.48)

Сравнивая (1.48) с (1.47), можно заключить, что при вычислении перемещений неравномерность нагрева тела как бы равносильна добавлению к реальным объемным силам (X, Y, Z) некоторых фиктивных объемных сил, пропорциональных градиентам температур, т. е. пропорциональных а при вычислении напряжений (1.47) появлению дополнительных членов, пропорциональных температуре.