2.5 Вдавливание абсолютно жесткого шара в упругое полупространство

Представим, что на упругом полупространстве покоится жесткий шар радиуса R (рис. 27). Если нет давления на этот шар и исключить влияние собственного веса, то касание шара с граничной плоскостью полупространства будет в точке.

Рис. 27

На расстоянии от точки касания, малом по сравнению с R, зазор между шаром и граничной плоскостью может быть, как известно, с достаточным приближением определен формулой:

.

Если к шару будет приложена нагрузка, нормальная к первоначальной граничной плоскости и проходящая через дентр шара, то вследствие упругости полупространства граничная плоскость изогнется и шар опустится, как это показано на рис. 26 (справа).

Ввиду симметрии деформации относительно оси, совпадающей с направлением силы, площадка контакта шара с деформированной граничной поверхностью упругого полупространства будет представлять в плане круг некоторого радиуса а; закон распределения давления под шаром не известен, (подлежит определению). Очевидно, эпюра этого давления должна представлять фигуру, симметричную относительно оси, совпадающей с силой.

Проведя через точку С в плане бесконечно близкие секущие, вычислим нагрузку, приходящуюся на бесконечно малую площадку dp, отстоящую на расстоянии s от точки С. Если напряжение смятия у этой площадки обозначим через q, то элементарная сила на площадке dF соответствует (2.45). Влияние этой силы на опускание точки Е определится, согласно (2.45), таким образом:

или, после подстановки (2.46),

.

Влияние на прогиб рассматриваемой точки С всех элементарных давлений со всей площади контакта шара и упругого полупространства оценится интегралом:

, (2.50)

В выражении (2.50) неизвестными являются w и функция распределения давления q. С другой стороны, из чисто геометрических соображений, поскольку шар не деформируется, следует (рис. 27) что

w = w₀ – w₁ , (2.51)

где w₀  опускание шара (и одновременно “прогиб” полупространства) в центре касания, a w₁  первоначальный зазор между шаром и граничной плоскостью. Тогда исследуемый прогиб

w = w₀ - ₁r² , (2.52)

где введено обозначение:

.

Уравнение (2.51) выражает условие, что "упругая" поверхность полупространства представляет под шаром часть поверхности этого шара. Объединяя (2.50) и (2.52), имеем:

. (2.53)

В выражении (2.53) неизвестная функция q входит под знак интеграла и, следовательно, (2.53) является интегральным уравнением. Но именно такое же уравнение имелось и выше, где, наоборот, была известна нагрузка (она была задана по “полушару”), а определялся характер изгиба граничной плоскости.

На основании сходства правых частей (2.53) и (2.49) заключаем, что эпюра распределения давления по площади контакта представляет “полушар”. Таким образом, если давление в центре контакта обозначим через q₀, то на расстоянии r от этого центра давление

,

а при r = а (на контуре круга касания) обращается в нуль.

Все выражения предыдущего раздела целиком относятся и к данной задаче, т. е.

(2.54)

Решая (2.54) относительно а, q₀ и w₀ , имеем:

. (2.55)