3.2 Исследование напряжений при давлении на одном из контуров

1. Сжимающее радиальное давление на наружном контуре. По формулам (3.7), положив в них р_В = 0, найдем

. (3.9)

Второй член в скобке формулы (3.9) равен единице или меньше ее, поэтому напряжения во всех точках отрицательные, сжимающие. Окружное напряжение по абсолютной величине всегда больше радиального. Наибольшее нормальное радиальное напряжение _r возникает на наружной поверхности трубы (r = R_н) и равно  р_н, а наибольшее окружное напряжение  на внутренней поверхности (r = R_B) и равно  .

Как видно из формулы (3.9), напряжения меняются вдоль радиуса по криволинейному закону. Эпюры напряжений показаны на рис. 31,а. Уменьшение наружного радиуса может быть определено по формуле (3.8) для перемещения v, если положить в ней р_В = 0, а r = R_B. Тогда

. (3.10)

2. Сжимающее радиальное давление на внутреннем контуре. По формуле (3.7), положив в р_н = 0, найдем

. (3.11)

а) б)

Рис. 31

Второй член в скобке формулы (3.11) равен единице или больше ее, поэтому напряжения _r во всех точках трубы отрицательны, а  положительны. Наибольшее нормальное радиальное напряжение _r возникает на внутренней поверхности (r = R_B) и равно  р_B, наибольшее окружное  также на внутренней (r = R_B), оно растягивающее и равно .

Закон изменения напряжений вдоль радиуса тоже криволинейный [см. формулу (3.11)]. Эпюры напряжений показаны на рис. 31,б. Увеличение внутреннего радиуса может быть получено по формуле (3.8) для перемещений v, если положить в ней р_н = 0, a r = R_B:

. (3.12)

Соотношение окружных напряжений, вычисленных по формуле (3.11) при r = R_B и r == R_H ,

. (3.13)

Из формулы (3.13) видно, что чем меньше толщина кольца, т. е. чем ближе друг к другу значения R_B и R_H , тем ближе отношение (3.13) к единице, т. е. тем равномернее распределяются напряжения _T по толщине трубы. Например, при R_B = 0,95, отношение

и окружные напряжения можно считать равномерно распределенными по толщине кольца. При большой толщине трубы напряжения _r и _T в точках, удаленных от внутренней поверхности, сближаются по величине и в пределе, при R_H  , становятся одинаковыми и противоположными по знаку.

Представим формулу (3.11) в виде

.

Следовательно, если r > 4R_B, напряжения _r и _T будут равны и будут составлять меньше 6% от внутреннего давления. На этом основании по формуле (3.11) можно определять радиальные и окружные напряжения в случае плоской деформации тела, имеющего отверстия, нагруженные радиальным давлением, расположенные друг от друга на расстоянии больше 8R_B (рис. 32). Внешний контур тела не имеет значения и может быть произвольного очертания.

Рис. 32

3.3 Условия прочности при упругой деформации

Составим условия прочности для толстостенной трубы, испытывающей внутреннее давление р_В. В зависимости от принятого предельного состояния для наиболее напряженной точки на внутренней поверхности трубы получим следующие выражения:

1. Для хрупких материалов (чугун, бетон) по первой теории прочности

. (3.14)

По формуле (3.11) при r = R_B расчетное напряжение

.

или

,

откуда

. (3.15)

Выражение (3.15) показывает, что при внутреннем давлении, приближающемся по величине к допускаемому напряжению [], отношение стремится к бесконечности, т. е. никаким увеличением наружного радиуса R_H нельзя удовлетворить условию прочности (3.14).

2. Для пластичных материалов (сталь, медь) по третьей теории прочности

. (3.16)

По формуле (3.11) при r == R_B расчетное напряжение

. (3.16)

или

,

откуда

. (3.17)

Выражение (3.17) показывает, что при внутреннем давлении р_В, приближающемся по величине к половине допускаемого напряжения [], отношение стремится к бесконечности и увеличением наружного радиуса Р_H удовлетворить условию прочности (3.16) нельзя.