IV. Прямое и косвенное измерение площадей

Прямое измерение площади основано на непосредственном сравнении площади измеряемой фигуры с площадью фигуры, которую принимают за эталон (за единицу измерения).

Измерение площади осуществляется непосредственным наложением прибора для измерения площади – палетки – на измеряемую фигуру. Палетка представляет собой прозрачную пленку, на которую нанесены единичные квадраты (квадраты единичной площади). Палетку накладывают на измеряемую фигуру и подсчитывают количество целых квадратов единичной площади, которые уменьшаются на данной фигуре. Затем подсчитывают количество неполных квадратов, делят его на 2 и складывают два полученных результата.

Косвенное измерение площади – нахождение площади фигуры по формуле.

IV. Величины в начальном курсе математики

При изучении величины в НКМ можно выделить 8 этапов, направленных на изучение величин (по Истоминой):

1. Выяснение и уточнение имеющихся у младших школьников представлений о данной величине (дошкольный опыт).

2. Сравнение однородных величин (визуально с помощью ощущений: наложение, приложение, использование различных мерок).

3. Знакомство с единицей измерения величины и измерительными приборами.

4. Формирование измерительных умений и навыков.

5. Сложение и вычитание однородных величин, выраженных в единицах одного наименования (решение задач).

6. Знакомство с новыми единицами измерения величины в связи с изучением нумерации и сложения чисел. Перевод единицы измерения одного наименования в единицы двух наименований и наоборот.

7. Сложение и вычитание величин, выраженных в единицах двух наименований.

8. Умножение величины на число и деление величин.

Теория действительных чисел

I. Несоизмеримые отрезки. Иррациональные числа

Если при измерении отрезка единичный отрезок укладывается в нем целое число раз, то его длина выражается натуральным числом. Говорят, что данный отрезок соизмерим с единичным. Если единичный отрезок укладывается нецелое число раз, то единичный отрезок делят на несколько более мелких отрезков и сравнивают длину данного отрезка с новой единицей измерения. В этом случае длина данного отрезка выражается дробью.

В озьмем отрезок АВ и единичный отрезок е. Пусть длина отрезка АВ больше n единичных отрезков, но меньше, чем n+1 единичных отрезков. Разделим единичный отрезок на 10 равных частей и получим новый единичный отрезок . Отложим отрезок е₁ в отрезке АВ. Возможны следующие случаи:

1. Новый единичный отрезок е₁ укладывается в отрезке АВ n₁ раз. Тогда . Тогда мы получим десятичную дробь .

2 . Единичный отрезок е₁ не укладывается целое число раз в отрезке АВ. Тогда введем новую единицу: , и т.д. При этом возможно следующее: на каком-то шаге процесс закончится, тогда длина отрезка АВ выражается дробью . Либо этот процесс не закончится никогда, и длина отрезка будет выражена бесконечной дробью . Причем полученная десятичная дробь может быть и периодической, и не периодической.

Теорема. Диагональ квадрата несоизмерима с его стороной.

Доказательство. Предположим противное: диагональ квадрата соизмеряется с его стороной. Т.е. диагональ выражается обыкновенной несократимой дробью или десятичной периодической дробью. .

По теореме Пифагора

АС²=АВ²+ВС²

АС²=2

Из последнего равенства делаем вывод, что число m – четное. Тогда его можно записать в виде m=2k.

(2k)²=2n²

4k²=2n²

2k²=n²

Значит, число n – тоже четное. Т.е. в дроби числитель и знаменатель четные, т.е. она сократима, что противоречит условию.

Значит, наше предположение неверно, т.е. диагональ квадрата выражается непериодической десятичной бесконечной дробью.

Определение. Число, выраженное десятичной непериодической бесконечной дробью, называется иррациональным.

Примеры:

Определение. Числа, выражающиеся конечной или бесконечной десятичной дробью, называются действительными.

Множество R₊ состоит из множеств Q₊ и I₊, поэтому действия над действительными числами должны быть определены так, чтобы алгоритм действий был единый для всех действительных чисел, т.к. некоторые действительные числа (иррациональные) записываются бесконечными десятичными дробями, то записать их точные значение невозможно. Поэтому вводят понятия приближенного значения действительного числа по недостатку и по избытку.

Пусть дано действительное число х, заданное следующей десятичной дробью:

Определение. Приближенным значением числа х по недостатку с точностью до называется число . Оно получается, если взять целую часть числа и дробную часть до n-ной цифры после запятой, а остальное – отбросить.

Определение. Приближенным значением числа х по избытку с точностью до называется число . Оно получается, если в приближенном значении числа х по недостатку последнюю цифру увеличить на 1.

x_n и x_n’ называются границами числа х (число x_n – нижняя граница, число x_n’– верхняя граница). .

Пусть дано число а=3,2789… Найти значение числа а по недостатку и по избытку до ; .