Длина отрезка и ее измерения

I. Определение. Длиной отрезка называется аддитивно-скалярная величина, определенная для каждого отрезка следующим образом («аддитивно» – означает сложение):

1. За единицу (эталон) длины принимается длина единичного отрезка e: f(e)=1.

2. Равные отрезки имеют равные длины: .

3. Если отрезок состоит из конечного числа меньших отрезков, то длина его равна сумме длин составляющих его отрезков:

Свойства длины отрезка:

1. При выбранной единице измерения длина отрезка выражается единственным положительным действительным числом, и наоборот: для любого положительного действительного числа найдется отрезок, длина которого выражается этим числом.

2. Если равны отрезки, то равны и численные значения длин этих отрезков, и наоборот: если длины равны, то равны эти отрезки.

3. Если отрезок представляет собой сумму нескольких отрезков, то численное значение длины этого отрезка равно сумме численных значений длин отрезков, его составляющих.

4. Если отрезки a и b таковы, что , то длина отрезка b будет равна длине отрезка a, умноженной на число k, при заданной единице измерения e.

5. Если единицу измерения уменьшить (увеличить) в k раз, то длина отрезка в новой единице измерения будет увеличена (уменьшена) в k раз.

Соизмеримыми называются отрезки, длина которых выражается рациональным числом при выбранной единице измерения.

Несоизмеримые отрезки – это отрезки, длина которых выражается иррациональными числами при выбранной единице измерения.

Иррациональные числа – это бесконечные непериодические десятичные дроби ( ).

II. Площадь фигуры и ее измерение

Площадью фигуры называется аддивно-скалярная величина, определенная для каждой имеющей площадь фигуры следующим образом:

1. За единицу площади принимается площадь квадрата со стороной, равной единице измерения длины, т.е. сторона квадрата равна единичному отрезку.

2. Равные фигуры имеют равные площади: .

3. Если фигура F разбита на несколько частей, то:

Свойство площадей:

1. Если фигуры равны, то равны и числовые значения их площадей при заданной единице измерения.

2. Если фигура F составлена из фигур F₁, F₂, … F_n, то численное значение площади фигуры F равно сумме численных значений площадей фигур, ее составляющих.

3. При замене единицы площади числовое значение площади фигуры увеличивается (уменьшается) во столько раз, во сколько новая единица измерения меньше (больше) исходной.

Измерить площадь фигуры – значит сравнить ее с эталоном.

1 см² =100 мм²

1 м² = 10000 см²

1 км² = 1000000 м²

1 га = 10000 м²

1 сот = 100 м²

III. Равные и равновеликие фигуры

Равными называются фигуры, которые при наложении совпадают: .

Равновеликими называются фигуры, имеющие одинаковую площадь: .

Равные фигуры являются равновеликими, но не всегда равновеликие фигуры – равными.