III. Равные дроби. Признак равенства дробей
Определение. Равными называются дроби, выражающие длину одного и того же отрезка. Длину отрезка можно выразить с помощью бесконечного множества обыкновенных дробей – все они будут равносильными или равными.
Теорема 1 (Признак
равенства дробей).
Дроби
и
являются равными тогда и только тогда,
когда mq=np.
Доказательство.
1. Необходимость. Даны 2 дроби: и . Известно, что они равны. Нужно доказать, что mq=np.
Если дроби
и
равны,
то по определению они выражают длину
одного и того же отрезка. Возьмем за
единицу измерения отрезка отрезок
.
Длина отрезка, выражаемая дробью
,
в новой единице измерения будет
выражаться:
.
Аналогично, если
длина отрезка равна
,
то
.
Но поскольку
=
по условию, то mq=np.
2. Достаточность. Даны 2 дроби и . Известно, что mq=np. Доказать, что = .
Так как mq=np
– истинное числовое равенство, то по
свойству истинных числовых равенств
можно обе части этого равенства разделить
на одно и то же число. Разделим обе части
на nq.
,
т.е. мы имеем две дроби, выражающие длину
одного и того же отрезка, т.е. эти дроби
равны.
Теорема доказана.
IV. Свойства отношения равенства дробей. Разбиение множества Q+ на классы.
Теорема 2. Отношение равенства дробей является отношением эквивалентности.
Доказательство. Покажем, что отношение равенства дробей симметрично, рефлексивно и транзитивно.
1.Рефлексивность.
2.Симметричность.
Если
,
то
Если mq=np, то np=mq.
Т.к.
,
,
,
то для них выполняется свойство
коммутативности умножения.
3.Транзитивность.
Даны дроби
,
,
.
Если
Из доказательства теоремы 2 следует, что поскольку отношение равенства дробей является отношением эквивалентности, то оно задает разбиение множества всех дробей на классы. (Классы – непустые непересекающиеся подмножества некоторого множества Х, объединение которых равно множеству Х).
– класс дробей,
которые равны
.
– класс дробей,
которые равны
.
Таких классов равных дробей бесконечно много; и в каждом классе бесконечное число элементов. Классы равных дробей не пересекаются, т.е. любая дробь, взятая из одного класса, не может принадлежать другому классу, а объединение всех этих классов дает множество Q+ (множество положительных рациональных чисел).
Определение. Класс равных дробей называется положительным рациональным числом.
Класс дробей определяется любым своим представителем, но мы будем считать представителем класса равных дробей несократимую дробь из этого класса.
Определение. Несократимой дробью называется дробь, числитель и знаменатель которой – взаимно простые числа, т.е. их НОД равен 1.
V. Теорема 3. Для любого положительного рационального числа существует одна и только одна несократимая дробь, которая его представляет.
Доказательство
(методом от противного). Пусть для каждого
класса равносильных дробей существует
2 несократимые дроби
и
.
Так как они несократимые, то НОД (m;n)=1
и НОД(p;q)=1.
По условию
=
.
Это может быть тогда и только тогда (по
теореме 1), когда mq=np.
Любая часть
этого равенства делится на q,
значит и
делится
на q,
т.е.
делится
на q
или p
делится
на q.
Но p
на q
делиться не может, так как p
и
q
– взаимно простые числа. Значит ,
делится
на q.
Пусть n=kp. mq=kqp
m=kp
m и n имеют общий делитель k. Это противоречие, так как – несократимая дробь по условию.
Вывод. В одном классе равных дробей не может быть двух несократимых дробей. Таким образом, в каждом классе равносильных дробей есть одна и только одна несократимая дробь.
Каждая несократимая дробь представляет положительное рациональное число и наоборот: каждое положительное рациональное число выражается некоторой несократимой дробью.