XVIII. Проценты

Определение. Процент – сотая часть любого числа.

Виды задач на проценты:

1. Нахождение процента от числа.

Население города 300000 человек, 70% - женщины. Сколько женщин в городе?

(человек)

2. Нахождение числа по его проценту.

В городе 210000 женщин, что составляет 70% населения. Какого население города?

3. Нахождение процентного отношения двух чисел.

Население города 300000 человек, из них 210000 – женщины. Сколько процентов населения составляет женщины?

210000:300000=0,7(70%).

Промилле – тысячная часть от числа (‰).

XIX. Преобразование обыкновенных дробей в десятичную. Бесконечные десятичные периодические дроби

Обратить десятичную дробь в обыкновенную не составляет труда. Для этого записывают целую часть, затем в числителе записывают число, стоящее после запятой, а в знаменателе – степень числа 10, причем показатель степени равен количеству цифр, стоящих после запятой.

Для того, чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную, поступают одним из следующих способов.

1. Умножают числитель и знаменатель на такое число, чтобы в знаменателе получилось степень 10. Используется, если в знаменателе небольшие числа.

2. Делением числителя на знаменатель. Таким образом, получаем десятичную дробь. При этом в процессе деления может получиться конечная десятичная дробь, либо бесконечная десятичная дробь. Бесконечная дробь может быть периодической либо непериодической.

Определение. Бесконечной периодической десятичной дробью называется дробь, в которой, начиная с некоторого знака после запятой, одна цифра или группа цифр повторяется.

0,333…=0,(3)

0,54333…=0,54(3)

Для того, чтобы узнать, переводится ли обыкновенная дробь в конечную или нет, пользуются следующей теоремой.

ХХ

Теорема 1. Несократимая обыкновенная дробь , переводится в конечную десятичную дробь тогда и только тогда, когда, в разложении знаменателя этой дроби присутствуют только степени числа 2 или 5.

Доказательство.

1. Необходимость. Докажем теорему: если несократимая обыкновенная дробь представима в виде десятичной, то в разложении знаменателя присутствуют степени только 2 или 5.

Действительно, если дробь представима в виде десятичной, то ее можно записать в виде .

2. Достаточность. Дано, что несократимая дробь представима в виде десятичной дроби, в разложении знаменателя которой содержатся множители 2 или 5. Нужно доказать, что может быть представлена в виде конечной десятичной дроби.

, при

Если , то домножим числитель и знаменатель на .

Кроме конечных, существуют бесконечные десятичные дроби: периодические и непериодические. Периодические делятся на чистые и смешанные.

Определение. Десятичной бесконечной чистой периодической дробью называют такую десятичную дробь, у которой период начинается сразу после запятой.

0,(3); 0,(527)

Определение. Десятичной бесконечной смешанной периодической дробью называется дробь, у которой сразу после запятой стоит одна или несколько цифр, называемых предпериодом, а затем следует период.

3,27(625)

ХХ1

Теорема 2. Несократимая дробь переводится в чистую периодическую дробь, если в разложении знаменателя этой дроби имеются любые простые множители, за исключением 2 и 5.

Замечание. Число цифр в периоде чистой периодической дроби не превышает ее знаменателя, т.е. если в знаменателе число b, то в периоде может быть 0,1,2…(b-1) цифр.

Теорема 3. Обыкновенная несократимая дробь переводится в смешанную периодическую в том случае, если в разложении знаменателя этой дроби есть множители 2 или 5 и плюс еще любые простые числа.

Замечание. При переводе обыкновенной дроби в десятичную важным условием является требование о несократимости данной дроби.

Определение. Положительное рациональное число – множество дробей, представляющих длину одного и того же отрезка.

Определение. Положительным рациональным числом называется бесконечная периодическая десятичная дробь.

Оказывается, что не только обыкновенная дробь может быть переведена в десятичную, но и десятичная дробь с помощью определенных правил переводится в обыкновенную.

ХХ11

Правило 1 (Правило перевода чистой периодической десятичной дроби в обыкновенную). Чтобы чистую периодическую десятичную дробь перевести в обыкновенную, необходимо в числителе записать число, образованное цифрами периода, а в знаменателе – столько девяток, сколько цифр в периоде.

Доказательство.

Пусть 0,(36)=а

Найдем 100а=36,(36)

100а=36+а

100а – а=36

99а=36

ХХ11

Правило 2 (Правило перевода смешанной периодической дроби в обыкновенную). Чтобы смешанную периодическую дробь перевести в обыкновенную, нужно в числителе записать разность между числом, записанном цифрами, стоящими до 2го периода и числом, записанным цифрами предпериода. В знаменателе записываем число, состоящее из стольких девяток, сколько цифр в периоде и стольких нулей, сколько цифр в предпериоде.

Доказательство.

Пусть 0,11(36)=а

Найдем 100а=11,36

10000а=1136,(36)

10000а=1136+0,(36)

11,(36) – 11

10000а=1136+100а–11

9900а=1136–11

Любое рациональное число представимо в виде бесконечной периодической десятичной дроби, в т.ч. и натуральные числа ( )

Непериодические дроби – множество иррациональных чисел (I)