Теория рационального числа

I. Задачи, приводящие к введению рациональных чисел

1. Решение уравнения вида . Это уравнение имеет решение во множестве целых чисел тогда и только тогда, когда b делится на а. В случае, если b не делится на а, уравнение неразрешимо в множестве целых чисел.

2. Задача измерения длины отрезка с помощью данной единицы измерения е. Не всегда единичный отрезок е укладывается целое число раз в измеряемом отрезке. Именно эти задачи исторически обусловили появление рациональных чисел, т.е. дробей. Историки утверждают, что наиболее вероятно, появление дробей связано с процессом различных измерений: длины, массы, площади, времени. Возможно, их возникновение связано с потребностью делить несколько предметов на количество частей, большее количества этих предметов (Например, разделить 3 мешка зерна между 4 людьми). Так на Руси возникли конкретные меры объема: четверть, осьмушка и т.д. Из древних папирусов известно, что в Древнем Египте широко использовались дроби, которые сейчас называются доли (т.е. дроби вида ). Древние индусы и арабы тоже пользовались дробями, которые записывались следующим образом:

. Только начиная с XVI века дроби приобрели современный вид.

II. Измерение отрезков. Обыкновенная дробь. Классификация обыкновенных дробей.

Возьмем отрезок АВ и некоторый единичный отрезок е. Измерим АВ с помощью единичного отрезка е. Если при измерении единичный отрезок укладывается в АВ целое число раз (например, k), то говорят, что длина отрезка АВ выражается натуральным числом k: . Если же длина отрезка АВ такова, что она не укладывается в нем целое число раз, то поступим следующим образом. Разобьем единичный отрезок е на n частей и введем новую единицу измерения . Пусть е₁ укладывается m раз в длине отрезка АВ, т.е. . В этом случае для выражения длины отрезка АВ используется пара чисел (m, n), где вторая компонента n показывает, на сколько частей разбит единичный отрезок е, а первая компонента m указывает, сколько таких частей укладывается в АВ.

Определение. Пара чисел (m, n) или называется обыкновенной дробью, причем числа m и n – натуральные. Число n – знаменатель дроби (показывает, на сколько равных частей разделили единицу измерения). Число m – числитель (показывает, сколько частей взяли).

При измерении отрезка могут получаться дроби вида , и т.д. если длина отрезка равна , то это означает, что е укладывается 2 раза и еще остается часть е. Но если в качестве единицы измерения взять , то длина того же отрезка будет равна 7е₁, т.е. .

Определение. Дробь вида называется правильной, если , т.е. числитель меньше знаменателя.

Определение. Дробь вида называется неправильной, если .

Определение. Дробь вида называется смешанной, если она состоит из целой и дробной частей.

Пусть дана неправильная дробь , где . Разделим m на n с остатком. По теореме о делении с остатком разделить m на n с остатком значит найти такие числа q и r, которые удовлетворяют следующему равенству: , где . Если r=0, то . Дробь имеет вид: . Этот процесс называется выделением целой части из неправильной дроби. Такую сумму целого числа и правильной дроби записывают без знака «+» и называют смешанной дробью. Таким образом каждую неправильную дробь можно перевести в смешанную: для этого достаточно числитель разделить на знаменатель с остатком.

Верно и обратное: любую смешанную дробь можно перевести в неправильную. Для этого необходимо знаменатель умножить на целую часть и к полученному произведению прибавить числитель.