2.3 Ортогональні функції Радемахера і Уолша

_{В останні роки успішно розвиваються цифрові методи обробки і передачі сигналів на основі дискретних ортогональних послідовностей у вигляді функцій Радемахера, Уолша й ін. Функції Радемахера утворюються із синусоїдальних функцій за допомогою співвідношення [18]}

_,

де аргумент – безрозмірний час;– період функції, а додатне ціле число– порядок функції; –знак дійсного числа, (, приі припри_. Інакше кажучи, функції Радемахера, які приймають значення можна трактувати як функції «прямокутного синуса». На рис. 2.4 наведені для прикладу графіки перших чотирьох функцій Радемахерадля. Звідки випливає, що функціїортонормовані на інтервалі

Рисунок 2.4 – Графіки функцій Радема­хера 1, 2 і 3-го порядків.

Рисунок 2.5 – Графіки перших восьми функцій Уолша.

Подальшим розвитком систем функцій, які мають форму “прямокутної хвилі” є система функцій Уолша . Вона утворюється в такий спосіб. По визначенню вводяться функціяпри. Для одержання функції придосить записати числов двійковій системі числення тобто подати у вигляді суми, дедодатні цілі числа. При цьому функція Уолша запишеться у вигляді. . На рис. 2.5 наведені графіки перших восьми функцій Уолша ,, …,, побудованих по чотирьох функціях Радемахера.

Функції Уолша не тільки ортогональні, вони мають ще і властивість мультиплікативності Це означає, що добуток будь-яких двох функцій Уолша також є функцією Уолша де. У зв'язку з можливістю застосування до функцій Уолша логічних операцій вони знаходять застосування при розробці пристроїв формування і перетворення сигналів на базі мікропроцесорної техніки. Сигнали на основі функцій Уолша використовуються в цифрових багатоканальних системах передачі інформації.

В теорії зв'язку, особливо в задачах апроксимації, знаходять застосування також й інші ансамблі ортогональних функцій. Серед них функції Лежандра, функції Лагерра, функції Ерміта [18].

2.4 Дискретизація в часі безперервних сигналів і їх відновлення

2.4.1 Дискретизація безперервних сигналів

При дискретному і цифровому представленні безперервних сигналів необхідно попередньо замінити ці сигнали їх дискретними відліками (вибірками). Для цієї мети в теорії і техніці сигналів широко використовується теорема Котельникова В.О. Опублікована в 1933 році, вона визначає умови, при яких можлива заміна безперервного в часі сигналу його дискретними значеннями. Суть її зводиться до наступного: якщо в спектрі досліджуваного сигналу S(t), заданого на нескінченній осі часу, верхня частота в спектрі обмежена деякою максимальною частотою (f_в< f_м), то такий сигнал повністю визначається послідовністю своїх значень (відліків) в моменти часу що відстоять один від одного не більш, ніж на , де- інтервал (період) дискретизації початкового сигналу. Причому, відновити на приймальній стороні початковий сигнал по його відліках можна з якою завгодно малою погрішністю.

Тоді відповідно до цієї теореми, званої також теоремою відліків в тимчасовій області, заданий сигнал S(t) можна представити у вигляді ряду Котельникова [44]

, (2.51)

де - часовий інтервал між двома сусідніми відліками (вибірками);- вибірки (відліки) початкового безперервного сигналуS(t) в моменти часу ;- кутова частота;- функції відліків початкового сигналуS(t), які повинні бути ортогональними.

Представлення довільної безперервної функції (сигналу) S(t) за допомогою ряду Котельникова графічно показано на рис.2.6.

Функції відліків , як функції вигляду, володіють наступними властивостями.

Рисунок 2.6 – Графічне представлення довільного безперервного сигналу рядом Котельникова

1. В точках на тимчасовій осі, деn=0,±1,±2... функції , а в точках, деk=±1,±2..., відмінне від n, функції .

2. Спектральна щільність функцій рівномірно розподілена в смузі частот, а модуль її рівний. Це витікає з властивості симетрії (властивості взаємної оборотності частоти і часу для парних сигналів), як властивості перетворення Фур’є. На рис.2.7 зображені тимчасова функціяі відповідна їй функція спектральної щільності по модулю.

Рисунок 2.7 - Графічне зображення функцій a)і б)

Оскільки функція відрізняється від функції тільки здвигом на осі часу на, то спектральна щільність функціїможе бути записана в наступному вигляді:

(2.52)

Ряд Котельникова (2.51) точно визначає заданий сигнал S(t) тільки в точках відліку, оскільки коефіцієнтами цього ряду є самі вибірки (відліки) даного сигналу, тобто значення . Отже, якщо відповідно до виразу (2.51) виконати всі операції з відліками і функціями відліків, то можна відновити початковий сигналS(t) із заданою точністю.

Можна також показати, що ряд (2.51) визначає сигнал S(t) у будь-який момент часу t, а не тільки в точках відліків .

Скористаємося для цього відомою методикою розкладання функції, що задовольняє умовам Діріхле, по ортогональній системі. В даному випадку як ортогональні використовуються функції відліків , для яких інтервал ортогональності прагне до нескінченності, а квадрат норми визначається відповідно до виразу

(2.53)

Використовуючи відомий вираз для коефіцієнтів ряду Фур’є (2.30), можна записати

(2.54)

де - комплексно зв'язана функція з функцією.

Для обчислення виразу (2.54) скористаємося властивістю згортки перетворення Фур’є. Тоді отримаємо

(2.55)

Межі інтеграції тут обмежені максимальною частотою в спектрі сигналуS(t), а також в спектрі функції відліків відповідно до рис.2.7.

Інтеграл у виразі (2.55) відповідно до зворотного перетворення Фур’є є значення сигналуS(t) у момент часу . Тоді маємо

. (2.56)

Після підстановки (2.55) в (2.54) отримаємо

(2.57)

Звідси витікає, що коефіцієнтами ряду (2.51) є вибірки (відліки) функції сигналу S(t) в моменти часу .

Відзначимо також, що оскільки обмеження спектру частот сигналу S(t) максимальною частотою ω_м забезпечує безперервність функції S(t), то ряд Котельникова (2.51) сходиться до функції (сигналу) S(t) при будь-якому значенні часу .

Якщо зменшити інтервал між сусідніми вибірками сигналу, то ширина спектру функції відлікузбільшиться відповідно до властивості розтягування і стиснення сигналу на тимчасовій осі, і стає більше, ніж у початкового сигналуS(t).

На рис.2.7,б це вказано пунктирною лінією 2. Таке розширення смуги частот підвищує точність представлення сигналу S(t), оскільки при цьому враховуються найбільш вищі частоти , крім того знижуються вимоги до АЧХ фільтрів нижніх частот, поновлюючих безперервний сигнал з відліків в приймальному пристрої.

При збільшенні величини спектр функціїзвужується і стає менше спектру початкового сигналуS(t), що вказане пунктирною лінією 3 на рис.2.7,б. Тоді при обчисленні інтеграла (2.32) межі інтегрування зменшуються і набуті значення коефіцієнтів у виразі (2.54) будуть вибірками не заданого сигналу, а іншого, спектр якого виявляється обмеженим меншою частотою, чим ω_м. Тобто сигнал S(t) відтворюється з деякою помилкою.

Якщо тривалість сигналу S(t) кінцева (фінітний сигнал) і рівна Т_с, то спектр його нескінченний і має пелюстковий характер.

Проте на практиці завжди можна визначити максимальну частоту спектру сигналу так, щоб пелюстки спектру цього сигналу за межами частотимістили нехтуємо малу частку енергії в порівнянні з енергією сигналуS(t).

При такому допущенні для сигналу тривалістю Т_с і шириною спектру частот загальне число незалежних (ортогональних) параметрів, тобто відліків, яке необхідне для повного завдання сигналу і відновлення його на приймальній стороні, повинно бути рівне

. (2.58)

Тоді вираз (2.59) для ряду Котельникова прийме вигляд

. (2.59)

Число N у виразі (2.59) називають числом степенів свободи сигналу S(t), оскільки навіть при довільному виборі значень сума (2.59) повністю визначає функцію, що задовольняє умовам заданого спектру і заданої тривалості сигналуS(t). Число N іноді називають базою сигналу.

Енергію і середню потужність сигналу S(t), представленого рядом Котельникова, можна виразити через послідовність його часових вибірок (відліків):

(2.60)

(2.61)

причому середня потужність у виразі (2.61) визначається на опорі навантаження R_н=1 Ом.