2.6.2 Імовірнісні характеристики огинаючої і фази вузькосмугового випадкового гаусового процесу

Для визначення ЩВ огинаючої і фази вузькосмугового випадкового процесу будемо виходити із спільної щільності імовірності квадратурних компонент і у фіксованих перетинах ВП. Вважаючи процес гаусовим, представимо цю ЩВ у наступному вигляді

(2.145)

де ,,,– МО і дисперсії квадратурних компонент.

Представлення (2.145) припускає, що квадратурні компоненти ,– незалежні випадкові величини, які завжди можна забезпечити. Дійсно, відомо, що гаусів вектор комплексної огинаючоїможна так розташувати в декартовій системі координат, що його проекції (,) виявляться некорельованими (значить і статично незалежними при гаусовому розподілі).

Для спрощення аналізу обмежимося випадком, коли дисперсії квадратурних компонентів дорівнюють ==. Тоді з (2.145) випливає

(2.146)

Перейдемо від декартових координат ,до полярних координат. Тоді,.

Приріст площі в декартових координатах дорівнює (див. рис. 2.41,а), а приріст площі тієї ж величини в полярних координатах запишеться формулою (див. рис. 2.41,б).

Порівнюючи імовірності елементарних подій у двох системах координат, одержуємо

,

відкіля випливає, що .

Враховуючи (2.145) одержимо вираз для у такому вигляді:

. (2.147)

Рисунок 2.41 – Визначення приросту площі у декартових (а) і полярних (б) координатах

Одномірну щільність імовірності огинаючої отримаємо, інтегруючи (2.147) за всіма можливими значеннями на інтервалі періодичності гармонійної функції:

_(2.148)

де .

Інтегрування в (2.147) можна виконувати за допомогою табличного інтеграла

,

де – модифікована функція Бесселя нульового порядку (примаємоі при зростанніфункція безупинно зростає). Після інтегрування одержимо результат

. (2.149)

Формула (2.149) виражає узагальнений закон Релея або закон Райса [19].

Вузькосмуговий випадковий процес з регулярною частиноюз відмінним від нуля МО можна представити, як

. (2.150)

Звідси видно, що амплітуда регулярної частини сигналу буде дорівнювати

. (2.151)

Врахувавши (2.149) запишемо розподіл Райса в такому вигляді

, . (2.152)

Ця залежність при різних параметрах зображена на рис. 2.42,а.

Однойменну щільність імовірності фази одержимо, інтегруючи (2.148) за всіма можливими значеннями (від 0 до).

,

де .

Рисунок 2.42 – Розподіл амплітуд (а) і фаз (б) райсового вектора

Графік цієї функції зображений на рис. 2.42,б при різних параметрах . При відсутності регулярної частини сигналу (), з огляду на те, що,отримаємо з (2.149) розподіл амплітуди за Релеєм

, . (2.153)

Фаза сигналу в цьому випадку має рівномірний розподіл

(2.154)

У розрахунках часто переходять до розподілу безрозмірного значення . Тоді з умовизнаходимо розподіл за Релеєм для нормованої амплітуди у такому вигляді:

, . (2.155)

Розподілення (2.153) і (2.152) наведені відповідно на рис. (2.42,а) і (2.42,б).

Розподіл нормативної амплітуди відповідно до (2.155) можна представити за допомогою рис. 2.43.

Рисунок 2.43 – Розподіл амплітуди безрозмірного вектора Релея

Графіки спектральної щільності потужності і функції кореляції (нормованої)вузькосмугового квазібілого шуму зображені на рис. 2.36, в.