2.5.3.6 Експоненціальне розподілення

Для випадкових точкових процесів з розподіленням Пуассона (2.90) величина τ, що визначає інтервал між викликами (рис.2.32), описується експоненціальним розподіленням з одномірною щільністю розподілу вірогідності (ЩРВ) вигляду

. (2.92)

Графік цієї функції представлений на рис.2.32,а.

Тоді вираз для одномірної ІФР (рис.2.32,б) запишеться у вигляді

. (2.93)

Рисунок 2.32 - Графіки функцій ЩРВ (а) і ІФР (б) для експоненціального розподілення дискретної величини

Таким чином, за допомогою виразів (2.92) і (2.93) можна знайти, наприклад, вірогідність того, що інтервал між сусідніми викликами виявиться рівним або менше деякого значення τ₀. Ці вирази також використовуються при визначенні ЩРВ інтервалу між двома відмовами (несправностями) в роботі пристрою.

2.5.4 Кореляційні функції детермінованих і випадкових процесів

Для дослідження характеристик сигналів при їх перетворенні в різних функціональних елементах і пристроях засобів зв'язку окрім спектрального аналізу широко застосовується кореляційний аналіз. Він дозволяє без аналізу спектру сигналу визначати його основні характеристики і параметри, а також швидкість (частоту) зміни (убування або зростання) якого-небудь параметра сигналу.

Слово «кореляція» означає зв'язок між сигналом S(t) і його копією S(t-τ), зрушеною щодо початкового сигналу на інтервалі τ, або між якими-небудь перетинами випадкового процесу.

Оскільки детерміновані сигнали є реалізаціями випадкових процесів, то спочатку розглянемо кореляційні функції детермінованих сигналів.

2.5.4.1 Кореляційні функції детермінованих сигналів

Кореляційною функцією детермінованого сигналу називається функція, що визначає зв'язок між сигналом і його копією, зсунутою по осі часових зсувів на інтервал τ.

Для неперіодичних детермінованих сигналів кореляційна функція, звана також автокореляційною (АКФ), визначається з виразу:

. (2.94)

Вираз (2.94) указує на те, що АКФ сигналу при зсуві копії вправо наτ або вліво на –τ відносно початку відліку часового зсуву τ=0 є парною і симетричною. Приклади побудови АКФ для одиночного прямокутного відеоімпульсу і одиночного прямокутного радіоімпульсу показані на рис.2.33,а,б.

Математично АКФ описується виразами:

для відеоімпульсу,

для радіоімпульсу.

Таким чином, при τ=0 значення АКФ рівне енергії сигналу на опорі 1Ом. На рис.2.33,в показані також АКФ для пачки з трьох відеоімпульсів прямокутної форми.

Для періодичних детермінованих сигналів кореляційна функція визначається з виразу:

,

де параметр Т₁ означає інтервал спостереження сигналу, який для періодичного сигналу може бути рівний його періоду Т. Тоді вираз (2.94) можна записати у вигляді:

. (2.95)

З виразу (2.95) виходить, що АКФ періодичного сигналу є парною і симетричною, а при τ = 0 її значення рівне потужності сигналу на опорі 1Ом.

Приклади побудови АКФ для деяких видів періодичних сигналів показані на рис.2.34. З рисунку виходить, що АКФ періодичного сигналу є також періодичною функцією з періодом Т.

Математично АКФ на періоді періодичного сигналу описується виразами:

а) для послідовності прямокутних відеоімпульсів:

,

Рисунок 2.33 - Приклади побудови АКФ неперіодичних сигналів

Рисунок 2.34 - Приклади побудови АКФ для деяких видів

періодичних сигналів

б) для послідовності прямокутних радіоімпульсів:

;

в) для гармонійних сигналів вигляду або:

.

Функція кореляції визначає зв'язок між шириною спектру сигналу і часовим інтервалом τ_к, званим інтервалом кореляції. Під інтервалом кореляції розуміємо максимальний зсув , в межах якого АКФ зменшується до нуля при зсуві копії неперіодичного сигналу на всю тривалість сигналу вправо або вліво відносноτ = 0.

Зв'язок між кореляційною функцією В(τ) і енергетичним спектром сигналу, описується виразами, аналогічними перетворенням Фур’є:

, (2.96)

(2.97)

Тоді справедливе твердження, згідно якому чим ширше енергетичний спектр сигналу, тим менше інтервал кореляціїτ_к, тобто тим менше зв'язок сигналу із зсунутою відносно його копією.

Відповідно, чим більше інтервал кореляції τ_к, тим менше ширина енергетичного спектру сигналу, тобто тим сильніше зв'язок (кореляція) між сигналомі його копією. З виразів (2.96) і (2.97) виходить, що АКФ не залежить від ФЧХ сигналу, отже, різним по формі сигналам, що мають однакові амплітудні спектри, відповідають однакові кореляційні функції.