- •Глава 2математичні моделі повідомлень, сигналів і завад
- •2.1 Функціональні простори і їх базиси
- •2.2 Спектральний аналіз сигналів на основі рядів Фур'є
- •2.2.1 Спектральне представлення періодичних сигналів
- •2.2.2 Спектральне представлення неперіодичних сигналів
- •2.3 Ортогональні функції Радемахера і Уолша
- •2.4 Дискретизація в часі безперервних сигналів і їх відновлення
- •2.4.1 Дискретизація безперервних сигналів
- •2.4.2 Спектральне уявлення дискретизованих сигналів
- •2.4.3 Особливості дискретизації сигналів
- •2.4.5 Відновлення безперервного сигналу
- •2.5 Випадкові процеси та їх загальні характеристики
- •2.5.1 Функції розподілу випадкових процесів
- •2.5.2 Моментні (числові) характеристики випадкових процесів
- •2.5.3 Приклади деяких випадкових процесів
- •2.5.3.1 Сукупність гармонійних коливань з випадковою амплітудою
- •2.5.3.2 Сукупність гармонійних коливань з випадковими фазами
- •2.5.3.3 Гаусовий (нормальний) випадковий процес
- •2.5.3.4 Сума гармонійних реалізацій з випадковими фазами нормального гаусового шуму
- •2.5.3.5 Розподілення Пуассона
- •2.5.3.6 Експоненціальне розподілення
- •2.5.4 Кореляційні функції детермінованих і випадкових процесів
- •2.5.4.1 Кореляційні функції детермінованих сигналів
- •2.5.4.2 Кореляційні функції випадкових процесів (сигналів)
- •2.5.4.3 Взаємні кореляційні функції різних випадкових процесів (сигналів)
- •2.5.4.4 Зв'язок між кореляційною функцією стаціонарного випадкового процесу і його спектральною щільністю потужності
- •2.6 Аналітичний вузькосмуговий сигнал
- •2.6.1 Математичні моделі і характеристики аналітичного сигналу
- •2.6.2 Імовірнісні характеристики огинаючої і фази вузькосмугового випадкового гаусового процесу
- •2.7 Марковські процеси
2.5.4.2 Кореляційні функції випадкових процесів (сигналів)
Кореляційна (автокореляційна) функція випадкового процесу X(t) встановлює ступінь статистичного зв'язку миттєвих значень процесу, узятих в різні моменти часу. Для центрованого нестаціонарного випадкового процесу вона визначається як математичне очікування добутку двох значень процесу в двох різних його перетинах при t1 і t2:
(2.98)
де - двовимірна щільність вірогідності розподілу миттєвих значень випадкового процесуX(t). Автокореляційна функція для нецентрованого нестаціонарного процесу X(t), звана коваріаційною, визначається з виразу:
(2.99)
З виразів (2.98) і (2.99) виходить, що кореляційна і коваріаційна функції випадкового нестаціонарного процесу залежать як від вибору його перетину (моментів часу t1, t2), так і від різниці моментів часу τ = t2-t1.
Між кореляційною і коваріаційною функціями існує наступний зв'язок:
. (2.100)
Звідси витікає, що .
При вираз (2.100) визначає дисперсію випадкового процесу у момент часу:
.
Для стаціонарного випадкового процесу Х(t) в широкому сенсі автокореляційна функція визначається з виразу:
(2.101)
а коваріаційна функція знаходиться з виразу:
(2.102)
З виразів (2.101) і (2.102) виходить, що кореляційна і коваріаційна функції стаціонарного випадкового процесу не залежать від вибраних перетинів (моментів часу t1 і t2), і залежать від різниці моментів цих перетинів. Примаємо:
,
тобто кореляційна функція даного процесу, визначена для одного будь-якого перетину, рівна дисперсії процесу DХ або квадрату середньоквадратичного відхилення значень випадкового процесу від середнього значення.
Дисперсію можна також знайти з виразу:
.
Для ергодичного стаціонарного випадкового процесу вираз АКФ записується у вигляді:
,
де mX – математичне очікування випадкового процесу.
Вираз для коваріаційної функції процесу має вигляд:
Нормована АКФ стаціонарного ергодичного випадкового процесу визначається з виразу:
а нормована коваріаційна функція знаходиться з виразу:
Інтервал кореляції τk для випадкового процесу визначається найбільшим часовим інтервалом між двома перетинами процесу , в межах якого значення функції кореляції зменшується до певного значення, наприклад, до.
2.5.4.3 Взаємні кореляційні функції різних випадкових процесів (сигналів)
Для оцінки статистичного зв'язку двох випадкових процесів Х(t) і Y(t) вводиться поняття взаємної кореляційної функції (ВКФ).
Для нестаціонарних центрованих випадкових процесів вираз ВКФ має вигляд:
(2.103)
Вираз для взаємної коваріаційної функції записується у вигляді:
(2.104)
де - двовимірна щільність розподілу вірогідності миттєвих значень випадкових процесівХ(t) і Y(t).
Нормовані ВКФ визначаються з виразів:
, (2.105)
, (2.106)
де і- відповідно середньоквадратичне значення випадкових процесівХ(t) і Y(t) в моменти часу t1 і t2.
Для стаціонарних в широкому сенсі випадкових процесів вирази (2.103), (2.104), (2.105) і (2.106) запишуться у вигляді:
(2.107)
(2.108)
, (2.109)
. (2.110)
При маємо,,.
Враховуючи, що , отримаємо
Для ергодичних стаціонарних незалежних випадкових процесів вирази (2.107) і (2.108) запишуться у вигляді:
, (2.111)
, (2.112)
, (2.113)
де mXmY – відповідно математичне очікування випадкових процесів Х(t) і Y(t).
Для ергодичного стаціонарного випадкового процесу виконуються умови:
Інтервал кореляції для взаємної функції кореляції визначається максимальним значенням часового зсуву випадкового процесуХ(t) відносно процесу Y(t) (або навпаки), при якому значення ВКФ досягає, наприклад, 0,1 від свого максимуму.