2.6 Аналітичний вузькосмуговий сигнал

2.6.1 Математичні моделі і характеристики аналітичного сигналу

Для багатьох практичних додатків буває корисним подати сигнал у вигляді процесу зі змінюваною амплітудою огинаючої і повною фазою

.

Так, при амплітудній модуляції інформація закладається в , при кутовій в –. Представлення в загальному випадку є неоднозначним, тобто один і той самий сигналможе бути представлений нескінченною множиною пар. З кожної такої пари може бути утворений новий сигналу деякому розумінні сполучений із сигналом. Відомо, що ,. Комплексний сигналє зручним відображенням дійсного сигналу.

Із співвідношення невипливає (при довільних функціях). що амплітудні спектри таоднакові, а фазові спектрирозрізняються зсувом на .

Представимо сигнал без постійної складової увигляді нескінченної суми гармонійних складових для

(2.121)

і забажаємо щоб у сполученому з ним сигналі всі частотні складові мали ті ж амплітуди , і при цьому фази одержали зсув, що дорівнюватиме величині фази :

(2.122)

Зіставивши (2.121) і (2.122) бачимо, що в області додатних частот спектри сигналів ірозрізняються множником, а в області від’ємних частот – множником. Процесназивають сигналом, сполученим по Гілберту з. Передатна функція кола, яке перетворюєв(тобто перетворювача Гілберта (ПГ) див. рис. 2.38), має вигляд

,

де – знакова функція.

Рисунок 2.38 – Умовне позначення кола перетворювача Гілберта

Імпульсна характеристика кола визначається зворотним перетворенням Фур'є від

Спектральна щільність для сполученого сигналузв'язаназі спектром Фур'є сигналуспіввідношенням

. (2.123)

Вираз можна записати і так . Звідси випливає, що коло, яке здійснює зворотне перетворення Гілберта, передатна функція або імпульсна характеристика кола подачі, яка видає на своєму виході сигнал, при подачі до входуобернені за знаком характеристикам, вказаним на рис. 2.38. Відгук лінійного стаціонарного ПГ можнавизначити як згортку функцій і. Він має вигляд

. (2.124)

Аналогічно можна записати

. (2.125)

Вираз (2.124) називають прямим, а (2.125) – оберненим перетворенням Гілберта Разом їх називають парою перетворень Гілберта .

Відзначимо, що для довільних сигналів перетворення Гілберта не реалізуються, тому що вони вимагають імпульсної характеристики кола, визначеної не тільки при , але при, а для реалізованого колапри. Якщо все ж таки ПГ таких сигналів необхідне, його реалізують приблизно, з деякою затримкою , свідомо відкидаючигілки, які розташовуютьсялівіше точки іправіше точки .

Затримка сигналу повинна бути врахована в інших пристроях, які працюють синхронно з ПГ. Слід зазначити, що похибка перетворення, пов'язана з урізанням імпульсної характеристики ПГ, може виявитися неприпустимо великою. Однак перетворення Гілберта просто реалізуються, якщо сигнал можна представити через вузькосмугові квадратурні компоненти.

Комплексний сигнал отриманий на основі ПГ, називається аналітичним. Розглянемо його основні властивості.

1. Аналітичний сигнал є природним узагальненням комплексного представлення гармонійного сигналу на випадок сигналу загального вигляду. Справді, якщо , то. При цьому повна фаза дорівнює, а миттєва частота відповідно.

2 У спектрі аналітичного сигналу містяться тільки додатні частоти. Дійсно, з (2.124) і (2.125) видно, що

при . (2.126)

У загальному випадку, коли спектр сигналує суцільним, то врахувавши (2.123) маємо

(2.127)

Аналогічно в спектрі комплексно-сполученого аналітичного сигналу містяться тільки від’ємні частоти

.

3. Скалярний добуток сигналів ів просторі Гілберта дорівнює нулеві (сигнали ортогональні)

(2.128)

4. При загальному фазовому зсуві всіх частотних компонент сигналу на кутаналітичний сигнал збільшується на. У цьому легко переконатися, додавши до степені(2.126) до кожного доданку загальний фазовий зсув:

. (2.129)

З виразу (2.129) природним чином випливає алгоритм загального фазового зсуву всіх частотних компонент дійсного сигналу :

(2.130)

5. Перетворення частоти (транспонування спектра) сигналу зводиться до множення аналітичного сигналуна, де ^{– величина частотного зсуву. З цього випливає вираз}

. (2.131)

З виразу (2.131) випливає формула транспонування спектра дійсного сигналу такого вигляду

. (2.132)

Формула (2.132) використовується при фазокомпенсаційному методі односмугової модуляції (коли – частота несучої), при корекції частотних зсувів, обумовлених неточним сполученням синтезаторів частот на передачі і на прийомі або доплерівськими зсувами частоти, і при демодуляції сигналу.

Операції, пов'язані з ПГ, стають реалізованими й істотно спрощуються, якщо сигнал можна представити через квадратурні компоненти,при заданій частоті (як правило, в спектрі сигналу):

, (2.133)

причому верхня частота в спектрі сигналів ,

. (2.134)

Умова (2.134) будемо називати умовою “вузкосмуговості в розширеному розумінні”. Найчастіше канальні сигнали в системах зв'язку мають властивість вузкосмуговості у вузькому розумінні

. (2.135)

Це означає, що квадратурні компоненти , змінюються повільно (порівняно з або ) і сигнал (2.133) має вигляд квазігармонічного сигналу (рис. 2.39). Саме в цьому випадку обробка сигналу (через обробку низькочастотних квадратурних компонент) технічно простіша і реалізується точніше.

Очевидно, що (2.123) можна записати

, (2.136)

де – комплексна амплітуда.

Оскільки множення наозначає перенесення спектра сигналунагору на величину, то очевидно, що при виконанні умови (2.135) спектр сигналумістить тільки додатні частоти,і може розглядатися як аналітичний. Тоді сполучений по Гілберту сигнал набуде у вигляду

. (2.137)

Рисунок 2.39 – Харак­терний вигляд вузькосмуго­вого процесу (сигналу)

Рисунок 2.40 – Геометрич­не зображення аналітичного сигналу зі змінною огинаючою і змінною миттєвою частотою

З порівняння (2.136) і (2.137) видно, що перетворення Гілберта сигналу можна записати у вигляді

,

а перетворення Гілберта сигналу – в такому вигляді

. (2.138)

Формально вирази (2.137) і (2.138) можна інтерпретувати так, що перетворення Гілберта здійснюється над функціями і :

,

при незмінності і .

З виразів (2.136) і (2.137) видно, що огинаюча сигналу має вигляд

, (2.139)

а його повна фаза дорівнює

. (2.140)

Миттєва частота сигналу (швидкість зміни фази) записується у вигляді

(2.141)

На комплексній площині (рис. 2.40) аналітичний сигнал у загальному випадку відображається вектором обертання, що має змінну довжину . Його кутова швидкість обертання змінюється в часі.

При представленні вузькосмугового в розширеному розумінні сигналу через квадратурні компоненти алгоритм (2.136) реалізується досить просто:

,

де ;.

Алгоритм перетворення частоти (2.131) можна подати у вигляді

,

де ;.

Використовуючи поняття сполученого по Гілберту сигналу, Л.М. Фінк ввів дуже важливе для теорії і практики електрозв'язку поняття ортогональності розумінні пари сигналів і[48].

Сигнали таортогональні в посиленому розумінні в просторі , якщо одночасноx,y

,. (2.142)

Корисність поняття ортогональності в посиленому розумінні пояснюється тим, що сигнали і, пройшовши через канал зв'язку, часто одержують випадкові фазові зсувиі. При виконанні умов (2.142) ортогональність сигналів зберігається при довільних фазових зсувахі.

Дійсно представимо сигнали ічерез огинаючу і повну фазу у вигляді:

, .

Сигнали, що одержали фазові зсуви і, запишемо враховуючи (2.142)

, .

Ортогональність сигналів івиражається у вигляді

(2.143)

і буде забезпечена тільки в тому випадку, якщо сигнали і ортогональні в посиленому розумінні (умова (2.142)).

Часто використовувана в техніці зв'язку система ортогональних у посиленому розумінні сигналів, визначених на інтервалі ;, будується на основі тригонометричних функцій кратних частот (ансамблю сигналів)

. (2.144)

Звичайно в ансамблі (2.144) міститься кінцева кількість компонент . Якщо ансамбль (2.144) доповнити елементами, то отримаємо ансамбль ортогональних сигналів розмірності. Якщо кожен елемент останнього ансамблю доповнити протилежним елементом (,), то отримаємо часто використовуваний при передачі дискретних повідомлень ансамбль сигналів, який називають біортогональним. Кількість елементів цього ансамблю .