Использование критерия χ2

Таблица П.16.1 – Значение критерия χ²для трех значений доверительной вероятности

Число	Доверительные вероятности			Число	Доверительные вероятности
степеней				степеней
свободы*	Р1 = 0,95	Р2 = 0,99	Р3 = 0,999	свободы*	Р1 = 0,95	Р2 = 0,99	Р3 = 0,999
df				df
1	3,8	6,6	10,8	17	27,6	33,4	40,8
2	6,0	9,2	13,8	18	28,9	34,8	42,3
3	7,8	11,3	16,3	19	30,1	36,2	43,8
4	9,5	13,3	18,5	20	31,4	37,6	45,3
5	11,1	15,1	20,5	21	32,7	38,9	46,8
6	12,6	16,8	22,5	22	33,9	40,3	48,37
7	14,1	18,5	24,3	23	35,2	41,6	49,7
8	15,5	20,1	26,1	24	36,4	43,0	51,2
9	16,9	21,7	27,9	25	37,7	44,3	52,6
10	18,3	23,2	29,6	26	38,9	45,6	54,1
11	19,7	24,7	31,3	27	40,1	47,0	55,5
12	21,0	26,2	32,9	28	41,3	48,3	56,9
13	22,4	27,7	34,5	29	42,6	49,6	58,3
14	23,7	29,1	36,1	30	43,8	50,9	59,9
15	25,0	30,6	37,7		Р = 0,05	Р = 0,01	Р = 0,0001
16	26,3	32,0	39,3		Уровни значимости

* Число степеней свободы df – число независимых величин, участвующих в образовании того или иного параметра. Оно равно общему числу величин, по которому вычисляется параметр, минус число условий, связывающих эти величины. При вычислении критерия χ² используются величины разрядных частот (т. е. частоты, объединенные по классовым интервалам), число которых равно к. Значение к (т. е. число классовых интервалов) в этом случае есть общее число величин, которые связаны: общим объемом выборки п, средней арифметической величиной х и средним квадратичным отклонением s. Поэтому число степеней свободы при определении χ² будет df= k – 3 [2].

Определенным значениям доверительных вероятностей соответствуют так называемые уровни значимости. Вероятности 0,95 (95 %) соответствует уровень значимости 0,05 (5 %). Это означает, что при нормальном распределении выход за пределы принятых границ возможен в порядке случайности с вероятностью 0,05, т. е. в 5 % случаев. При вероятности 0,99 уровень значимости 0,01 (1 %). Случайное отклонение возможно лишь с вероятностью 0,01, т. е. 1 % из 100 случаев; при вероятности 0,999 случайное отклонение возможно лишь в 1 % из 1000 случаев.

При оценке критерия χ² можно считать, что различие будет достоверным с вероятностью 0,99 при уровне значимости 0,01, т. е. можно сказать, что только в одном случае из 100 значение χ² будет больше табличного.

Обычно при определении достоверности критерия χ² принимают, что различие достоверно не с какой-то вероятностью, а при первом (Р = 0,05), втором (Р = 0,01) или третьем (Р = 0,001) уровнях значимости.

Таким образом, можно записать, что нормальность распределения принимается при χ² ≤ χ²_0,95 и отвергается при χ² > χ²_0,95.

Формула для оценки различий по критерию χ² имеет вид

df=(n_э –n_т)²/ n_т

где n_э – эмпирическая численность,

n_т – теоретическая численность.

Для оценки различий между теоретическим и эмпирическим распределениями размерного признака (например, длины тела) заполняют таблицу П.16.2.

Таблица П.16.2 – Оценка различий между эмпирическим и теоретическим распределениями

Классовые интервалы, см	Численность		Оценка различий
	Эмпирическая, nэ	Теоретическая, nт	nэ –nт	(nэ –nт)2	(nэ –nт)2 nт
1	2	3	4	5	6
143,5-147,4	3	2	-1	1	0,07
147,5-151,4	10	12
151,5-155,4	22	26	-4	16	0,62
155,5-159,4	44	38	6	36	0,95
159,5-163,4	28	30	-2	4	0,13
163,5-167,4	1 3	1 3	-	-	-
167,5-171,4	3	3	1	1	0,06
171,5-175,4	1	-
	п = 124	п = 124	-	-	χ2 = 1,83

Крайние частоты теоретического ряда, имеющие численность меньше 5, объединяются в один класс. Соответственно объединяются частоты в эмпирическом ряду (число классов должно быть после этого одинаковым). Значение χ² для определения числа степеней свободы вычисляется после объединения.

Число степеней свободы в нашем примере df = k -3 = 5-3=2.

По таблице П.16.1 имеем следующие границы значения χ² для этого числа степеней свободы:

Р_0,95 = 6,0; Р _0,99 =9,2; Р _0,999 =13,8.

Полученное значения χ² =1,83 не превышает первого уровня значимости, следовательно, распределение по длине тела в данной выборке можно считать нормальным.

Приложение 17