8.2 Методичні рекомендації щодо виконання роботи

Метод найменших квадратів дозволяє по існуючому полю точок в координатах , отримати рівняння прямої апроксимуючої лінії (лінії регресії). Принцип методу найменших квадратів заключається в тому, що лінія регресії повинна пройти таким чином, щоб сума квадратів відстаней кожної точки від лінії регресії була мінімальною. Якщо в координатах , є точок, які приблизно лягають на пряму лінію, то рівняння лінії регресії має бути представлено у вигляді

. (8.1)

Нехай в якійсь площині маємо набір точок ( , ), які не лежать на одній прямій лінії (в силу випадковості вимірювань), тоді формула рівняння регресії є наближеною.

Поставимо задачу вибрати коефіцієнти і таким чином, щоб сума квадратів віддалей всіх точок від лінії регресії була мінімальною. Рішення поставленої задачі ведеться методом найменших квадратів. Згідно з цим методом необхідно мінімізувати суму

. (8.2)

Тут , - задані числа, коефіцієнти і необхідно визначати таким чином, щоб мінімізувати величину . Для цього знаходимо похідні

, (8.3)

. (8.4)

Прирівнюючи ці похідні до нуля, одержимо систему рівнянь для визначення коефіцієнтів і

, (8.5)

. (8.6)

Коефіцієнти і в рівнянні лінії регресії визначаються за формулами

, (8.7)

, (8.8)

де , - координати - ої точки.

Метод найменших квадратів застосовується для побудови лінії регресії I – го порядку, що описується рівнянням (8.1). Якщо результати дослідів не лягають на пряму лінію, то слід звернутись до штучного їх випрямлення. Для цього необхідно вибрати апроксимуючу функцію.

Нехай ряд точок (даних досліду) описується в координатах , залежністю (де є функція взагалі відмінна від лінійної). Тоді заміною дана залежність приводиться до лінійної. Тому на осі абсцис замість незалежної змінної слід відкладати апроксимуючу функцію , і тоді залежність, що шукається, стане лінійною.

Нехай, наприклад, апроксимуюча функція має вид

. (8.9)

Шляхом логарифмування отримаємо

. (8.10)

Заміною ; приводимо дану залежність до лінійного вигляду. Тепер по осі ординат відкладається значення , а по осі абсцис – змінна , і отримана залежність представляється лінійною. Коефіцієнти можуть бути розпреділені по методу найменших квадратів.

Таким чином, використовуючи метод найменших квадратів, можна побудувати рівняння регресії для будь-якого масиву результатів дослідів.

8.3 Обробка результатів розрахунків

Результатом лабораторної роботи є написана функція, роздруківка таблиці із вихідними даними, а також розраховані за знайденою функцією значення при відомих аргументах (х) і в діапазоні 20…50 з кроком 10.

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ:

1. Яка апроксимація застосовується у випадку неперервного зростання швидкості зміни даних?

2. Умови застосування певного виду апроксимації.

3. Види апроксимацій.

4. Переваги плинного середнього.

ПИТАННЯ ДО НАУКОВО-ДОСЛІДНОЇ РОБОТИ СТУДЕНТІВ:

1. По результатах лабораторної роботи №7 побудувати лінію регресії та зробити прогноз на 5 кроків вперед.

2. Визначити вплив зміни випадкових точок на побудову лінії регресії.