Билет №23. Энтропия. Второе начало термодинамики. Невозможность вечного двигателя второго рода.
Второе начало термодинамики можно сформулировать разными способами:
1)Энтропия изолированной системы не может убывать: dS≥ 0.
2)Клаузиус: невозможны такие процессы, единственным результатом которых являлся бы переход тепла от более холодного тела к более нагретому. Можно показать, что такой процесс шел бы с уменьшением энтропии.
3)Кельвин: невозможны такие процессы, единственным результатом которых явилось бы отнятие количества теплоты у тела и превращение его в работу. Казалось бы, именно это имеет место при изотермическом процессе, но при этом есть изменение объема, т.е. результат не единственный. Из формулировки Клаузиуса легко перейти к Кельвину: перевели тепло в работу, а затем эту работу в тепло путем трения и отдали его более нагретому телу.
4)Невозможен вечный двигатель второго рода, т.е. такой периодически работающий двигатель, который получал бы тепло из резервуара и превращал его полностью в работу.
Тепловой резервуар – тело, теплоемкость которого бесконечно велика, т.е. его Т не меняется при получении или отдаче тепла.
Энтропия. Закон возрастания энтропии.
Энтропией называется функция состояния системы S, дифференциал которой dS= dQT
где dQ – бесконечно малое количество теплоты, сообщенное системе в элементарном обратимом процессе, Т – абсолютная температура системы.
Изменение энтропии в любом обратимом процессе, переводящем систему из состояния 1 в состояние 2, равно приведенному количеству теплоты, переданному системе в этом процессе:
S1−S2=∫2 dQ
1 T
Свойства энтропии изолированных систем:
●энтропия изолированной системы, совершающей обратимый цикл Карно, не изменяется;
●энтропия изолированной системы, совершающей необратимый цикл Карно возрастает;
●энтропия изолированной системы при любых происходящих в ней процессах не убывает.
Закон возрастания энтропии (неравенство Клаузиуса):
S≥ 0
Знак равенства относится к обратимым процессам, знак неравенства – к необратимым.
Энтропия идеального газа
Полный дифференциал энтропии идеального газа: dS= Mm Cv dTT + Mm R dVV
где m – масса газа, М – его молярная масса, Cv – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме, R – универсальная газовая постоянная, Т – температура газа, V – его объем.
Изменение энтропии при термодинамических процессах в идеальном газе:
S=S |
−S |
= |
m |
(C |
ln |
T 2 |
+R ln |
V 2 |
) |
||
M |
T1 |
|
V 1 |
||||||||
1 |
2 |
|
v |
|
|
|
|||||
При переходе идеального газа из состояния 1 в состояние 2 изменение энтропии не зависит от типа процесса перехода.
Для адиабатного процесса dQ = 0, следовательно, dS = 0, тогда S = const – процесс протекает при постоянной энтропии.
●При изотермическом процессе ( T 1=T 2 ):
S= |
m |
R ln |
V 2 |
|
μ |
V 1 |
|||
|
|
● При изохорном процессе ( V 1=V 2 ):
S= |
m |
C |
ln |
T 2 |
|
μ |
T 1 |
||||
|
v |
|
● При изобарическом процессе ( P1=P2 ):
S= |
m |
C |
ln |
T 2 |
|
μ |
T 1 |
||||
|
p |
|
Билет №24. Давление газа с точки зрения МКТ. Теплоемкость и число степеней свободы молекул газа.
Давление газа на стенку сосуда есть результат ударов молекул об эту стенку. Каждая молекула ударяется об стенку с крайне малой силой. Но поскольку число молекул велико, силы ударов каждой молекулы складываются в конечную и почти постоянную силу. Эта сила, усредненная по времени, и есть давление газа.
, где px – число движений одной молекулы (Сивухин)
Теплоемкость тела - это отношение количества теплоты, сообщенного телу, к изменению
δQQ
температуры δТ,котороеприэтомпроизошло:CТ, которое при этом произошло: Cтела= δQT , Cтела=Дж*KK-1.
δQQ
Удельная теплоемкость - это отношение теплоемкости тела к его массе, т.е.: с=Стела/m=mm=m-1 δQT , [c]=Дж*Kкг-1*KК-1.
Молярная теплоемкость - это теплоемкость одного моля вещества, т.е.: С= δQδQTQM ю
Здесь δТ,котороеприэтомпроизошло:CQм |
- количество теплоты, подведенное к одному молю вещества для нагревания его на |
|||||||
δТ,котороеприэтомпроизошло:CТ. Так как масса одного моля равна М, из с=Стела/m=mm=m-1 δQQ |
можно получить связь между С и с: |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
δQT |
|
c= |
C |
= |
1 |
δQ QM |
; C=c*KM; Cтела= |
m |
с. |
|
M |
M |
δQT |
M |
|
||||
|
|
|
|
|
||||
Определим молярную теплоемкость идеального газа при постоянном объеме. Согласно первому началу термодинамики: δТ,котороеприэтомпроизошло:CQM=dUM+pdVM.
При постоянном объеме dV=0 и δТ,котороеприэтомпроизошло:CQM=dUM.
Отсюда: CV=( |
δQ QM |
)v=const= |
U M |
|
R T |
= |
|
R. |
δQT |
T |
= 2 |
T |
2 |
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь использовано то, что согласно U= Mm 2 kT, U= Mm 2 RT и Mm =1, если речь идет об одном моле вещества.
Из U= m |
kT и CV= |
( |
δQ QM |
) |
v=const= |
U M = |
|
R T = |
R следует: U= m |
C |
|
T |
. Определим |
|||||||
|
M |
2 |
|
|
δQT |
|
T |
2 |
T |
2 |
M |
|
v |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δQ QM |
|
|
U M + |
|
молярную теплоемкость идеального газа при постоянном давлении: C = |
)p=const |
= |
||||||||||||||||||
|
P V M |
|
|
|
V M |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
( |
δQT |
|
T |
||
( |
)p=const |
=C +p |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
T |
V |
( |
T |
)p=const |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для одного моля уравнение Менделеева-Клапейрона принимает вид: VM= RT |
, отсюда из Cp= |
||||||||||||||
|
|
U M + |
|
P V M |
|
|
|
|
V M |
|
|
|
p |
|
|
δQ QM |
p=const= |
( |
) |
p=const=CV+p |
) |
p=const: Cp=Cv+p |
( |
RT )p=const=CV+R. |
|||||||
( δQT ) |
|
T |
T |
|
|
|
( |
T |
|
T |
p |
|
|||
Таким образом: Cp=Cv+R= ´i |
R+R= |
+2 R. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Отношение теплоемкостей |
C p |
=γ называются коэффициентом Пуассона. Из CV=( δQ QM )v=const= |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
Cv |
|
|
|
|
|
|
|
δQT |
||
U M = |
|
|
|
|
|
|
|
|
R+R= +2 R следует, что γ= |
+2. |
|
|
|||
2 R T = R и Cp=Cv+R= |
´i |
|
|
||||||||||||
T |
T |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Число степеней свободы механической системы - это минимальное число независимых координат, которые полностью определяет пространственное положение рассматриваемой системы. В частности можно говорить и о числе степеней свободы молекулы. Обозначается число степеней свободы буквой i.
Для материальной точки это число равно трем, т. к. ее положение полностью определяется тремя координатамиx, y, z. Материальная точка используется в качестве модели одноатомной молекулы идеального газа, таким образом, для нее i = 3. Для жесткой двухатомной молекулы к трем пространственным координатам необходимо добавить два угла поворота вокруг осей, перпендикулярных оси молекулы. Вращение вокруг оси молекулы не приводит изменение ее пространственного положения. Итак, для двухатомной жесткой молекулы i = 3 + 2 = 5. Для жесткой многоатомной молекулы, с количеством атомов больше двух, число степеней свободы i = 6. Здесь добавляется еще один угол поворота, изменяющего пространственное положение молекулы. Если модель жесткой молекулы неприменима, то необходимо учитывать и колебательные степени свободы. Законом равнораспределения энергии по степеням свободы в классической статистической физике называется следующие утверждения: средняя кинетическая энергия <ε1>,приходящаясянаоднупоступательнуюиε1>, приходящаяся на одну поступательную и вращательную степень свободы молекулы равна (1/m=m2) kT, т.е.: <ε1>,приходящаясянаоднупоступательнуюи 1>=0.5kT, средняя потенциальная энергия, приходящаяся на колебательную степень свободы, равна (1/m=m2) kT.
Точно также средняя кинетическая энергия, приходящаяся на колебательную степень свободы, равна (1/m=m2) kT. Таким образом, средняя энергия одной молекулы <ε1>,приходящаясянаоднупоступательнуюи >=kT*Ki/m=m2, i=iпост+iвр+2iкол причем всегда iпост=3.
Билет №25. Распределение Максвелла для модуля и проекций скорости молекул идеального газа. Экспериментальное обоснование распределения Максвелла.
В состоянии термодинамического равновесия частицы физической системы движутся в основном со скоростями, близкими к скорости их теплового движения. Все частицы перемещаются с хаотически различными скоростями, движение каждой из которых подчиняется законам классической физики. Но для рассмотрения движения очень большого числа частиц используются статистические (вероятностные) законы физики.
Найдем функцию вероятности распределения молекул идеального газа по скоростям.
Задача заключается в том, чтобы найти вероятность dW(v) обнаружения частицы, значение скорости которой заключено в интервале (v; v+dv).
Мерой интервала является малый объем dV= dvx dvy dvz в пространстве скоростей (v – пространство), в котором по координатным осям откладываются проекции скорости vx, vy, vz. Следовательно,
dW(v) =f(v)dv, |
(2.1) |
где f(v) – плотность вероятности, или функция вероятности распределения молекул по скоростям.
В связи с тем, что в данный момент времени любая молекула имеет вполне определенное
значение скорости, то должно выполняться условие нормировки, т.е. 
.
Если обозначим dN число молекул скорости которых лежат в интервале от v до v+dv, то вероятность dW(v) обнаружения частицы, значение скорости которой заключено в этом интервале равна dN/m=mN. Отсюда получаем