- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •ОПРЕДЕЛЕНИЕ И НАЗНАЧЕНИЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •1.1. ЧТО ТАКОЕ МОДЕЛЬ?
- •Место моделирования среди методов познания
- •Определение модели
- •Определение модели
- •Цели моделирования
- •1.2. КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ
- •Материальное моделирование
- •Идеальное моделирование
- •Когнитивные, концептуальные и формальные модели
- •1.3. Классификация математических моделей
- •Классификационные признаки
- •Классификация математических моделей в зависимости от оператора модели
- •Классификация математических моделей в зависимости от целей моделирования (рис. 1.11)
- •Классификация математических моделей в зависимости от методов реализации (рис. 1.12)
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Глава 2
- •ЭТАПЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
- •2.1. ОБСЛЕДОВАНИЕ ОБЪЕКТА МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •2.2. КОНЦЕПТУАЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •2.3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •2.4. ВЫБОР И ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА МЕТОДА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
- •stop
- •2.5. РЕАЛИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ В ВИДЕ ПРОГРАММЫ ДЛЯ ЭВМ
- •2.6. ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ МОДЕЛИ
- •2.7. ПРАКТИЧЕСКОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПОСТРОЕННОЙ МОДЕЛИ И АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •ПРИМЕРЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
- •3.1. СТАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КОНСТРУКЦИЙ
- •Содержательная постановка задачи
- •Концептуальная постановка задачи
- •Математическая постановка задачи
- •Решение задачи
- •Анализ результатов
- •Концептуальная постановка
- •Математическая постановка задачи
- •Методика решения задачи
- •Анализ результатов
- •3.3. ДИНАМИКА ПОПУЛЯЦИИ
- •Содержательная постановка задачи
- •Концептуальная постановка задачи
- •Решение задачи
- •Анализ результатов
- •Математическая постановка задачи для модели Ферхюльста
- •Решение задачи
- •Анализ результатов
- •Численное исследование модели Ферхюльста
- •3.4. МОДЕЛЬ КОНКУРЕНЦИИ ДВУХ ПОПУЛЯЦИЙ
- •Математическая постановка задачи
- •Качественный анализ задачи
- •Численное исследование модели конкуренции популяций
- •3.5. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
- •Содержательная постановка задачи
- •Концептуальная постановка задачи
- •Математическая постановка задачи
- •Решение задачи
- •Качественный анализ задачи
- •Численное исследование модели
- •Качественный анализ задачи
- •Решение задачи
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Глава 4
- •СТРУКТУРНЫЕ МОДЕЛИ
- •4.1. ЧТО ТАКОЕ СТРУКТУРНАЯ МОДЕЛЬ?
- •4.2. СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ СТРУКТУРНЫХ МОДЕЛЕЙ
- •4.3. ПРИМЕРЫ СТРУКТУРНЫХ МОДЕЛЕЙ
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
- •5.1. ПРИЧИНЫ ПОЯВЛЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ И ИХ ВИДЫ
- •5.2. МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ, ОПИСЫВАЕМОЙ С ПОЗИЦИЙ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
- •5.3. МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ СТОХАСТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
- •5.4. МОДЕЛИРОВАНИЕ МАРКОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
- •6.1. О ЗАКОНЕ ГУКА И ГРАНИЦАХ ЛИНЕЙНОСТИ
- •6.3. О ПОСТРОЕНИИ СПЛОШНЫХ МОДЕЛЕЙ. ВЫВОД ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ ИЗ ЗАКОНОВ МЕХАНИКИ
- •6.4. РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ФУРЬЕ
- •6.6. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
- •6.7. О КЛАССИФИКАЦИИ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
- •6.8. СВЯЗЬ НЕПРЕРЫВНОГО И ДИСКРЕТНОГО НА ПРИМЕРАХ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ И УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
- •6.9. О ПОЛЬЗЕ ФЕНОМЕНОЛОГИИ ПРИ ПОСТРОЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
- •6.10. АНАЛИЗ ПОДОБИЯ И РАЗМЕРНОСТИ
- •6.11. АВТОМОДЕЛЬНОСТЬ
- •6.12. САМООРГАНИЗАЦИЯ И СТРУКТУРЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ
- •6.13. О НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНАХ В СПЛОШНЫХ СРЕДАХ
- •6.14. ИЕРАРХИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ И МНОГОМАСШТАБНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ БАЗИСЫ
- •Иерархический базис для турбулентных полей
- •Одномерный иерархический базис
- •Двумерный базис
- •6.15. ВЕЙВЛЕТЫ
- •Непрерывное вейвлет-преобразование
- •6.16. ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
- •6.17. О ФРАКТАЛАХ И ИХ ПРИМЕНЕНИИ
- •Примеры фракталов
- •Подобие и скейлинг
- •Множества Мандельброта и Жюлиа
- •Фрактальная размерность кластеров
- •Экспериментальные методы определения фрактальной размерности
- •Модель случайных фракталов для описания растущих дендритных структур
- •Результаты применения модели случайных фракталов
- •6.18. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ДНК
- •Структура и физические свойства ДНК
- •Модель Пейрара-Бишопа
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Глава 7
- •7.2. ИМИТАТОР СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
- •7.3. КЛЕТОЧНЫЕ АВТОМАТЫ
- •7.4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИСЛОКАЦИЙ В МЕТАЛЛЕ
- •Самоорганизация дислокаций в модели клеточных автоматов
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •ЯЗЫК ФОРМАЛЬНОГО ОПИСАНИЯ АЛГОРИТМОВ
- •====== Приложение 2
- •П2.1. Решение уравнений высоких степеней и трансцендентных уравнений с одним неизвестным
- •П2.2. Решение систем линейных уравнений
- •БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
- •ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •Введение в математическое моделирование
ственному снижению интенсивности вариаций диаметра —что и подтверждают современные наблюдения.
Полученный результат заставляет пересмотреть сложившийся взгляд на природу солнечного цикла. 11-летний цикл объясняют, исходя из точки зрения, что он является свойством динамо-про цессов. Следуя этой точке зрения, нужно признать, что во время остановки «динамо» исчезнуть должен и этот цикл. Приведенный результат заставляет думать, что природа 11-летнего цикла не свя зана собственно с динамо-процессом. Механизм его зарождения неясен, но представляется, что он действует независимо от дина мо, модулируя активность последнего. Когда динамо не работает, энергия этого процесса выливается в гидродинамическую моду, приводя к 11-летним вариациям диаметра звезды.
6.17.О ФРАКТАЛАХ И ИХ ПРИМЕНЕНИИ
В1953 году я понял, что прямая линия ведет человечество к упадку. Тирания прямой стала аб солютной. Прямая линия — это нечто трусливое, прочерченное по линейке, без эмоций и размышле ний; это линия не существующая в природе. И на этом насквозь прогнившем фундаменте построена наша обреченная цивилизация.
Ф. Хундертвассер
Примеры фракталов
Фракталы окружают нас повсюду. Изрезанные береговые ли нии, изломанные поверхности горных хребтов, причудливые очертания облаков, раскидистые ветви деревьев, разветвленные сети кровеносных сосудов и нейронов, вспененные потоки бур ных рек —все это фракталы. Одни фракталы, типа облаков и гор ных потоков, постоянно изменяются, другие, подобные деревьям и нейронным сетям, сохраняют свою форму неизменной.
Язык фрактальной геометрии природы оставался непонятым вплоть до появления в 1983 г. книги Мандельброта «Фрактальная геометрия природы». До этого времени естествоиспытатели говори ли на языке геометрии Евклида. Идеально регулярные образы — прямая и плоскость, треугольники и пирамиды, окружность и сфера —составляли основу этого языка и всей научной картины
332
мира. Эту мысль в 1623 г. сформулировал Галилео Галилей: «Фи лософия природы написана в величайшей книге —я разумею Все ленную, —которая всегда открыта перед нашими глазами, но по нять ее сможет лишь тот, кто сначала выучит язык и постигнет письмена, которыми она начертана. А написана эта книга на языке математики, и письмена ее —треугольники, окружности и другие геометрические фигуры, без коих нельзя понять по-человечески их слова; без них тщетное кружение в темном лабиринте».
Потребовалось еще 350 лет, прежде чем естествознание обре ло качественно новый язык фрактальной геометрии. Вот что об этом пишет первооткрыватель фрактальной геометрии Бенуа Ман дельброт: «Почему геометрию называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в ее неспособности описать форму обла ка, горы, дерева или берега моря. Облака - это не сферы, горы — это не конусы, линии берега —это не окружности, и кора не яв ляется гладкой, и молния не распространяется по прямой.... При рода демонстрирует нам не просто более высокую степень, а со всем другой уровень сложности. Число различных масштабов длин в структурах всегда бесконечно.
Существование этих структур бросает нам вызов в виде труд ной задачи изучения тех форм, которые Евклид отбросил как бес форменные, —задачи исследования морфологии аморфного. Ма тематики, однако, пренебрегли этим вызовом и предпочли все больше и больше отдаляться от природы, изобретая теории, кото рые не соответствуют ничему из того, что можно увидеть или по чувствовать».
Широчайшее распространение фрактальных структур объясня ется их разномасштабностью и самоподобием: и большие, и малые масштабы фрактальных структур имеют одинаковый закон постро ения. Форма фрактальной структуры, разглядываемая в микроскоп с любым увеличением, видится одной и той же. Это геометричес кое подобие и есть основной принцип роста всего живого, кото рый называют также иерархическим принципом организации (за коны ветвления самой тонкой веточки дерева абсолютно те же, что и для всех его ветвей, и для всего ствола в целом).
Задать фрактальную структуру —значит задать не застывшую, неизменную форму, а принцип роста, закон изменения формы. Как правило, алгоритм построения формы гораздо проще, чем полученная с его помощью форма. Фрактал дает компактный спо соб описания самых замысловатых форм. Итак, «фрактал не есть конечная форма (фрактал никто никогда не видел, так же как
число л), а есть закон построения этой формы. Фраадал аккуму лирует в себе идею роста» [22].
Осознание этой идеи привело к тому, что понятие фрактала стало широко использоваться в научных исследованиях, и было обнаружено большое число задач, в которых фрактальная структура и размерность служат основными характеристиками системы. На пример, в турбулентности теория фракталов теснейшем образом связана с теорией масштабной инвариантности Колмогорова. Ско рость турбулентного потока (как функция пространственных пе ременных и времени) —фрактал, аналогичный броуновской кри вой, только с иными локальными свойствами.
Е. Федер в основу своей книги [109] положил исследование явлений, имеющих место при вытеснений нефти водой в порис той среде; эти явления приводят к тому, что нефть оказывается запертой в водяных ловушках, что ведет К ее потерям. Если вяз кость вытесняемой жидкости больше вязкости вытесняющей, то фронт вытеснения неустойчив и образуются так называемые «вяз кие пальцы», имеющие фрактальную структуру.
На рис. 6.28 представлена фрактальная кривая, являющаяся графиком так называемой функции Вейерштрасса. Эта функция непрерывна, всюду не дифференцируемая (каждая точка этой пря мой —точка излома, производная в которой не существует). Она задается бесконечной суммой тригонометрических функций
W(x)= £ апcos(bn%x), а< 1, b>\, ab>l,
Л=1
обладает сложной изломанной структурой и является самоподоб ной: форма функции остается неизменной при растяжении в b раз вдоль оси абсцисс и в 1/д раз вдоль оси ординат. На рис. 6.28,а показана функция Вейерштрасса при а = 0,5 и 6 = 4 и три пос ледовательных увеличения ее центральной части (рис. 6.2%,б,в,г). Можно видеть, что заключенные в прямоугольник части функции являются точными копиями предыдущего целого, т.е. функция Вейерштрасса является самоподобной. Впервые подобные функции появились в XIX веке, однако они были отвергнуты математика ми как «некрасивые». Их не только не хотели изучать —о них не хотели даже говорить. В самом деле, если любая сколь угодно ма лая часть функции Вейерштрасса повторяет всю функцию в целом, то чему же равна длина ее графика? Очевидно, бесконечности. Воп рос о длине фрактальной линии остался в XIX веке без ответа.
а) |
б) |
«) |
г ) |
Рис. 6.28. Фрактальная функция Вейерштрасса [22]
Еще раз столкнулись с подобной проблемой во второй поло вине XX века при измерении длины береговой линии Англии. Эта задача была поручена известному английскому физику Л. Ричард сону. Для ее решения Ричардсон на карте заменил истинную бе реговую линию замкнутой ломанной, составленной из отрезков прямой длины S, вершины которой располагались на побережье. Длина ломанной 1(8) принималась за приближенное значение дли ны береговой линии, соответствующее выбранному 8. Далее, пе реходя к пределу при 8 -»0, ожидали получить истинное значение длины побережья. Из математики известно, что предел длины ломанной при 8 0 для непрерывно дифференцируемой на отрез ке [а, Ъ] функции / (JC) не зависит ни от длины элемента ломан ной 8, ни от способа построения ломанной и равен длине L гра фика функции f{x), вычисляемой по формуле
ь
L = J7l + f'(x)dx.
а
Однако береговая линия Англии, в отличие от линий, описы ваемых гладкими функциями, оказалась настолько изрезанной вплоть до самых малых масштабов карты, что с уменьшением зве ньев 8 длина ломанной Д8) не стремится к конечному пределу, а становится бесконечно большой. Ричардсону удалось установить характер стремления Щ>) к бесконечности, который выражался степеннбй функцией:
L(S) =C8l-D,
где С = const >0 и D = const > 1.
Для побережья Англии D =1,24, поэтому Ь(Ъ) =С / 80,24, и ясно, что L(8) -> 0 при 8 -»0. Для других береговых линий полу чались другие значения D (1< D<2), причем чем более изрезанной была линия, тем большие значения D соответствовали ей (напри мер, для Норвегии Z)= l,5).
Примером более упорядоченной фрактальной кривой может служить фрактал, открытый в 1904 г. немецким математиком Хельгой фон Кох. Алгоритм построения его очень прост: рассматрива ется равносторонний треугольник со сторонами единичной длины; каждый прямолинейный элемент делится на три части, на сред ней части строится меньший равносторонний треугольник и его основание отбрасывается. Предфракталы —фигуры, полученные за четыре первых шага, изображены на рис. 6.29.
|
Рис. 6.29.Построение снежинки Кох |
|
|
|
|
Можно вычислить периметр этой фигуры. |
|
- |
и_ |
||
На нулевом шаге, т.е. п = 0, число элементов |
М°о' |
|
’ |
||
на элемента 80 = 1, длина кривой Д 80) = |
= 3- |
|
|
||
На |
шаге я = 1: 5j = 1/3 50 =1/3, |
^ ( 61) = 4ЛГ(50) = 4 ' 3 ’ |
длина |
||
кривой |
Z/(5j) = ^V(Sj)5j = 3- 4/3 . |
|
|
|
|
На шаге я = 2: 52 = 1/3 5Х=(1/3)2, |
^ ( 52)= 4 А^(61) = 3-42, длина |
||||
кривой |
Щ 2) = Щ 52)82 = 3(1/3)2 |
|
|
|
|
На шаге я: всего Щ8п) = 3-4" звеньев длиной 8Л= (1/3)", тог
да я = -1п8/1пЗ, длина кривой
« 5 )= 3 4 W =3 e x p { - in i^ i^ } .3 e x p { - ^ |ln |} =
= Зехр- 1{ in 5 (b i4 - L n 3) / l n 3 j = g l -D t
где .D = In 4/ln 3 = 1,2628 > 1.
При я -» «>, 8 -> 0, следовательно, длина кривой стремится к
бесконечности. Множество точек, полученное как предел беско нечного числа итераций процедуры Кох, не являются кривой, для которой длина —удобная мера. Это уже не линия —«длина без ши рины», а нечто большее, некая «толстая линия».
Термин фрактал (от лат. fractus —изломанный, дробный) ввел в употребление в 1975 г. американский математик Б. Мандельб рот, сотрудник исследовательского центра имени Томаса Дж. Уот сона корпорации IBM. Фракталами Мандельброт назвал структу ры, обладающие двумя признаками: изломанностью и самоподоби ем (любая часть структуры подобна всему целому). Самоподобный понимается не только в классическом смысле как «линейно уве личенный или уменьшенный», но и в смысле «похожий». Кроме того, эти структуры характеризуются параметром, называемым фрактальной размерностью. В чем смысл этой размерности?
Прежде чем перейти к определению фрактальной размернос ти, сначала обобщим понятие меры множества. Рассмотрим уже знакомые понятия длины, площади и объема, которые являются мерами линии, поверхности и пространственного тела соответ ственно. Линия, поверхность, тело —некоторые множества точек в евклидовом пространстве.
Для того чтобы измерить «величину» множества 3 точек в пространстве, покроем множество 3 , например, пробными фун кциями с характерным размером б (в качестве такой функции можно выбрать, например, сферу диаметра 8 или куб с ребром 8). Центр сферы поместим в какую-нибудь точку множества 3 , тог да все точки, находящиеся от центра сферы на расстоянии г< 8/2, окажутся покрытыми этой сферой. Посчитаем число сфер N(8), не обходимое для покрытия множества точек 3 , —получим в преде ле при 8->0 меру величины множества. Так, покрывая кривую отрезками длины 8, определим ее длину:
Д8) = / У ( 8 ) . б _ _ ^ .
В пределе мера L асимптотически равна длине кривой и не зависит от б. Если же попытаться вычислить площадь кривой, при этом покрывать ее кругами диаметра 8 (или квадратами со сторо ной б), то найдем, с учетом предыдущей формулы, что она зави
сит от б и в пределе при 8->0 обращается в ноль:
Л = а д 5 2 _ _ ^ 5_ _ * (,
Точно также в ноль обратится и объем кривой:
г -» -
Еще раз подчеркнем, что для обычных кривых при 5 -> 0 пло щадь и объем стремятся к нулю, т.е. подходящей мерой для кри вой является ее длина.
Чтобы вычислить площадь поверхности, покроем ее кругами диаметра б (или квадратами со стороной 8), тогда
A = N(S)b2 |
*AQ. |
|
5->0 |
В пределе мера А при 8 -»0 равна площади поверхности и не зависит от 8. Если попытаться вычислить длину поверхности, по крывая ее отрезками длины 8, то с учетом предыдущего соотно шения получим
L = N m ^ - ^ A 0b - ' ^ - ^ ~ ,
т.е. длина поверхности будет стремиться к бесконечности. Анало гично можно показать, что объем поверхности будет стремиться к нулю. Таким образом, только площадь является подходящей мерой для поверхности.
Объем тела можно получить в пределе при 8 -»0, покрывая его сферами диаметра 8:
V =ЛДб)б3 ■ 5-Л )fo-
Очевидно, что площадь и длина тела в пределе 8 -> 0 будут стремиться к бесконечности, т.е. подходящей мерой для тела яв ляется объем (а не длина и площадь).
Однако не для любого множества точек в пространстве мож но указанным способом определить меру. Существуют, например, кривые Пеано, изогнутые настолько, что заполняют плоскость. Для их измерения необходимо обобщить понятие меры множества.
До сих пор в качестве пробной функции выбирались отрезок, круг, сфера (или квадрат, куб), т.е. функции вида h(8) = y(d)8rf, и
Ш
покрывали множество 3, образуя меру Md = £ А(8). Заметим,
П=1
что для отрезка, квадрата, куба - y(d) = 1, для круга у(d) =л/4, для сферы y(d) = n/6
В общем случае при 8 -»О мера Md обращается в 0 или °° в зависимости от выбора величины d —размерности Пробной фун кции:
Величину Md назовем —d-мерой множества 3 .
Теперь можно ввести понятие размерности Хаусдорфа —Бези- ковича, которое играет ключевую роль в определении фрактала и фрактальной размерности.
Итак, размерность Хаусдорфа—Безиковича —D множества 3 — это такая критическая размерность, при которой мера Md изменя ет свое значение от 0 до °°.
Вэтом определении важно отметить следующее:
1.При d = D величина Md может быть конечной, но может
быть и 0 или . Важно, что именно при d = D мера Md меняется скачком.
2.Приведенное определение размерности —локальное свой ство в том смысле, что эта размерность характеризует свойства множества в точке в пределе при исчезающе малом 5, следователь но, фрактальная размерность Хаусдорфа—Безиковича есть локаль ная характеристика множества.
3.Если множество покрывается шарами неодинакового разме ра, но диаметры их всех меньше некоторого 8, то d-мера - это нижняя граница, т.е. минимальное значение, получаемое при всех возможных покрытиях.
Вернемся к примеру со звездой Кох. Рассматривая ее периметр как одномерную линию, видим, что его длина стремиться к бес конечности:
L = 35l~D при 5->0, Z> = ln4/ln3.
Таким образом, конечную длину можно получить только в случае, если d = D= In 4/ln 3 > 1. Значит, размерность звезды Кох не целое число d = 1, а дробная величина d = D = In 4/1п 3 > 1. Итак, фрактал имеет дробную размерность.
С учетом введенной размерности можно привести еще одно определение фрактала, данное Мандельбротом: фрактал —некото рое множество, размерность Хаусдорфа—Безиковича которого стро го больше топологической размерности.
Триадное канторово множество. Алгоритм построения канторова множества таков: отрезок единичной длины (затравка) делит ся на три равные части, средняя часть отбрасывается, остаются два отрезка длиной 1/3 каждый; далее каждый из оставшихся отрезков вновь делится на три части и средние части отбрасываются; остав шиеся четыре отрезка имеют длину 1/9 каждый. И так далее. Два первых шага построения множества изображены на рис. 6.30. На и-м шаге множество состоит из N= 2" отрезков длиной
/,.=(1/3)", / = 1, 2,...,JV. Процедура построения повторяется беско
нечное число раз. В результате имеем множество точек, называе мых канторовой пылью.
п = 0, затравка
п = 1, образующий элемент
п = 2
О ”
1/9
Рис. 6.30.Триадное канторово множество
Чтобы определить размерность канторового множества, покро ем его отрезками длиной 8 = /,•, при этом окажутся покрытыми все точки множества. Тогда rf-мера
N
Md = = N (№ d = 2"(l/3)"rf = bd~D ;=i
Она расходится и стремится к бесконечности при 8 -»0, если только d< D =1п2/1пЗ. Топологическая размерность множества d = 0, так как d < D, то канторово множество является фракталом.
Пусть отрезки в образующем элементе множества неравны, например /j =1/4, /2 =2/5. Вычислим для этого случая фракталь ную длину и размерность. На и-м шаге число отрезков N —2", са мый короткий отрезок имеет длину /f = (1/4)", а самый длинный —
/2" =(2/5)"
На л-м шаге
M d = ' Z i f |
= i t c * i f i 2n( - k)d = ( i f + If Г . |
||
/=l |
/=1 |
|
|
Поскольку л —> oo при 5 -» 0 , то мера Md конечна тогда и толь |
|||
ко тогда, когда d= D , |
где D |
удовлетворяет |
соотношению |
( if + l f ) n =1. Численно |
можно |
найти, что |
Z> = 0,6110 при |
/, =1/4, /2 =2/5
Ковер Серпинского. Алгоритм построения «ковра Серпинского» следующий: единичный квадрат делят на девять равных квадратов, длина стороны которых равна 1/3, средний квадрат удаляют, а оставшиеся восемь опять делят на девять равных квадратов, сред ние части вновь удаляют. Построение фрактала на пяти первых шагах показаны на рис. 6.31.
Рис. 6.31. Построение фрактала «ковер Серпинского»
Процедура повторяется бесконечное число раз. По аналогии с предыдущими примерами размерность полученного фрактала D = = 1п8/1пЗ.
Салфетка Серпинского. Для того чтобы построить фрактал, называемый «салфеткой Серпинского» берется правильный треу гольник со стороной единичной длины, затем соединяются сере дины его сторон, при этом исходный треугольник получается раз деленным на четыре меньших правильных треугольника со сторо нами, равными 1/2. Далее отбрасывается средний треугольник, а оставшиеся три вновь делятся на четыре равных треугольника со сторонами по 1/4. Алгоритм повторяется бесконечное число раз. На рис. 6.32 приведены первые пять шагов построения фрактала.
Несложно показать, что фрактальная размерность «салфетки Серпинского» D = 1пЗ/1п2.