- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •ОПРЕДЕЛЕНИЕ И НАЗНАЧЕНИЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •1.1. ЧТО ТАКОЕ МОДЕЛЬ?
- •Место моделирования среди методов познания
- •Определение модели
- •Определение модели
- •Цели моделирования
- •1.2. КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ
- •Материальное моделирование
- •Идеальное моделирование
- •Когнитивные, концептуальные и формальные модели
- •1.3. Классификация математических моделей
- •Классификационные признаки
- •Классификация математических моделей в зависимости от оператора модели
- •Классификация математических моделей в зависимости от целей моделирования (рис. 1.11)
- •Классификация математических моделей в зависимости от методов реализации (рис. 1.12)
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Глава 2
- •ЭТАПЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
- •2.1. ОБСЛЕДОВАНИЕ ОБЪЕКТА МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •2.2. КОНЦЕПТУАЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •2.3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •2.4. ВЫБОР И ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА МЕТОДА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
- •stop
- •2.5. РЕАЛИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ В ВИДЕ ПРОГРАММЫ ДЛЯ ЭВМ
- •2.6. ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ МОДЕЛИ
- •2.7. ПРАКТИЧЕСКОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПОСТРОЕННОЙ МОДЕЛИ И АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •ПРИМЕРЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
- •3.1. СТАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КОНСТРУКЦИЙ
- •Содержательная постановка задачи
- •Концептуальная постановка задачи
- •Математическая постановка задачи
- •Решение задачи
- •Анализ результатов
- •Концептуальная постановка
- •Математическая постановка задачи
- •Методика решения задачи
- •Анализ результатов
- •3.3. ДИНАМИКА ПОПУЛЯЦИИ
- •Содержательная постановка задачи
- •Концептуальная постановка задачи
- •Решение задачи
- •Анализ результатов
- •Математическая постановка задачи для модели Ферхюльста
- •Решение задачи
- •Анализ результатов
- •Численное исследование модели Ферхюльста
- •3.4. МОДЕЛЬ КОНКУРЕНЦИИ ДВУХ ПОПУЛЯЦИЙ
- •Математическая постановка задачи
- •Качественный анализ задачи
- •Численное исследование модели конкуренции популяций
- •3.5. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
- •Содержательная постановка задачи
- •Концептуальная постановка задачи
- •Математическая постановка задачи
- •Решение задачи
- •Качественный анализ задачи
- •Численное исследование модели
- •Качественный анализ задачи
- •Решение задачи
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Глава 4
- •СТРУКТУРНЫЕ МОДЕЛИ
- •4.1. ЧТО ТАКОЕ СТРУКТУРНАЯ МОДЕЛЬ?
- •4.2. СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ СТРУКТУРНЫХ МОДЕЛЕЙ
- •4.3. ПРИМЕРЫ СТРУКТУРНЫХ МОДЕЛЕЙ
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
- •5.1. ПРИЧИНЫ ПОЯВЛЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ И ИХ ВИДЫ
- •5.2. МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ, ОПИСЫВАЕМОЙ С ПОЗИЦИЙ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
- •5.3. МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ СТОХАСТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
- •5.4. МОДЕЛИРОВАНИЕ МАРКОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
- •6.1. О ЗАКОНЕ ГУКА И ГРАНИЦАХ ЛИНЕЙНОСТИ
- •6.3. О ПОСТРОЕНИИ СПЛОШНЫХ МОДЕЛЕЙ. ВЫВОД ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ ИЗ ЗАКОНОВ МЕХАНИКИ
- •6.4. РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ФУРЬЕ
- •6.6. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
- •6.7. О КЛАССИФИКАЦИИ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
- •6.8. СВЯЗЬ НЕПРЕРЫВНОГО И ДИСКРЕТНОГО НА ПРИМЕРАХ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ И УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
- •6.9. О ПОЛЬЗЕ ФЕНОМЕНОЛОГИИ ПРИ ПОСТРОЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
- •6.10. АНАЛИЗ ПОДОБИЯ И РАЗМЕРНОСТИ
- •6.11. АВТОМОДЕЛЬНОСТЬ
- •6.12. САМООРГАНИЗАЦИЯ И СТРУКТУРЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ
- •6.13. О НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНАХ В СПЛОШНЫХ СРЕДАХ
- •6.14. ИЕРАРХИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ И МНОГОМАСШТАБНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ БАЗИСЫ
- •Иерархический базис для турбулентных полей
- •Одномерный иерархический базис
- •Двумерный базис
- •6.15. ВЕЙВЛЕТЫ
- •Непрерывное вейвлет-преобразование
- •6.16. ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
- •6.17. О ФРАКТАЛАХ И ИХ ПРИМЕНЕНИИ
- •Примеры фракталов
- •Подобие и скейлинг
- •Множества Мандельброта и Жюлиа
- •Фрактальная размерность кластеров
- •Экспериментальные методы определения фрактальной размерности
- •Модель случайных фракталов для описания растущих дендритных структур
- •Результаты применения модели случайных фракталов
- •6.18. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ДНК
- •Структура и физические свойства ДНК
- •Модель Пейрара-Бишопа
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Глава 7
- •7.2. ИМИТАТОР СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
- •7.3. КЛЕТОЧНЫЕ АВТОМАТЫ
- •7.4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИСЛОКАЦИЙ В МЕТАЛЛЕ
- •Самоорганизация дислокаций в модели клеточных автоматов
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •ЯЗЫК ФОРМАЛЬНОГО ОПИСАНИЯ АЛГОРИТМОВ
- •====== Приложение 2
- •П2.1. Решение уравнений высоких степеней и трансцендентных уравнений с одним неизвестным
- •П2.2. Решение систем линейных уравнений
- •БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
- •ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •Введение в математическое моделирование
числительной процедуры. Надлежит таким образом выбирать па раметры численной процедуры, чтобы исключить появление вычис лительной неустойчивости при исследовании модели.
3.4. МОДЕЛЬ КОНКУРЕНЦИИ ДВУХ ПОПУЛЯЦИЙ
Рассмотрим ситуацию, когда в одной и той же местности про живают две популяции, имеющие схожий рацион питания. В этом случае популяции начинают конкурировать между собой из-за ис точника питания. Обозначим численность одной популяции через х, а другой через у. Пусть нам известны предельные численности популяций х* и у*, которых они могли бы достигать в данной об ласти обитания при отсутствии конкуренции, причем обозначение
популяций введем так, чтобы выполнялось ограничение х* < у*
Тогда функции прироста с учетом конкуренции можно записать следующим образом:
Вх(х, у)=кх(х* -х)-кхуу, |
(3.29а) |
Ry(x, у) = ку(у* - у ) - к ухх, |
(3.296) |
где кх, ку, кф, к ^ —положительные коэффициенты пропорциональ ности, учитывающие особенности каждой популяции и их взаимо влияние.
С учетом (3.29) запишем математическую постановку данной задачи.
Математическая постановка задачи
Найти решение задачи Коши
dy |
(3.30) |
|
при начальных условиях .х(0) = х0, у(0) = у0.
Как и для модели Ферхюльста, уравнения (3.30) можно приве сти к безразмерному виду. Рассмотрим популяции схожих организ
мов. Например, это могут быть травоядные животные двух разных видов или животные-хищники двух видов. В этом случае можно ввести относительные численности популяции:
Х= х/х*; Y= у/х*. |
(3.31) |
Тогда математическую постановку можно переписать в следу ющем виде: найти решение задачи Коши
^ = r ,( l - X - ,L xY)X,
( З И )
при начальных условиях ДО) = Х0, У(0) = У0. Здесь гх = кхх*, ry =кух*, \Lx =k ^ jk x,\iy= к ^ /к у, причем Y* = у*/х* >1.
Качественный анализ задачи
Проведем качественный анализ данной задачи. Найдем точки равновесия для системы уравнений (3.32), приравняв правые части нулю:
rx( l- X - iixY)X=0,
ry(Y * -Y -\iyX)Y=0.
Имеем четыре точки равновесия:
1) Д 1) = К1) = 0; 2) Д 2>= 0, К2) = }*;
(3.33)
3) Д 3) = 1, КЗ) = 0; 4) ЛГ(4) = |~ Ц*Г , у(4) = f ~Ц* .
Исходя из ограничений на численность (невымирание популяций)
Д 4>> 0 и К4>> 0 |
(3.34) |
получаем ограничения на |
и |
: |
а) ^ < 1 , 0<цх < 1/Г , 0 < ц , < Г ; |
(3.35а) |
Если эти условия не выполняются, то одна из популяций вы мирает. Из принятых соглашений следуют ограничения на числен ность популяций в точке равновесия:
О < J^4>< 1, 0 < }<4>< У*. |
(3.36) |
Из условия (3.33) следует, что X 4) < У4), если |
1+ру <(1+рх)7* |
Для данной модели имеем два параметра X и У, образующие двумерное фазовое пространство. Параметры X и Указываются фа зовыми переменными. Любое решение X(t), Y(t) системы (3.32) мож но интерпретировать геометрически как кривую в трехмерном про странстве переменных t, X, У, которая называется интегральной кривой. Проекция интегральной кривой на фазовое пространство называется фазовой траекторией.
Уравнения (3.32) в левой части содержат производные по вре мени, которые можно интерпретировать как скорости изменения переменных Х и У Поэтому можно считать, что уравнения (3.32) в каждой точке фазового пространства определяют некоторую ско рость, задаваемую вектором т= (/1, / 2), компоненты которого зада ются величиной правой части соответствующего уравнения в дан ной точке фазового пространства. Такая область фазового простран ства с заданным в каждой точке направлением называется полем скоростей, или полем направлений. Пример такого поля для систе мы (3.32) приведен на рис. 3.12.
Как можно видеть, при приближении к точкам равновесия дли на вектора скорости уменьшается и в самой точке равновесия ста новится равной нулю. Геометрически интегрирование системы уравнений (3.32) сводится к нахождению кривых, у которых направ ление касательной в каждой точке совпадает с направлением век тора т в данной точке поля направлений.
Проверка устойчивости точек равновесия для систем дифферен циальных уравнений имеет свои особенности. Согласно теореме Ляпунова скорости изменения малого параметра при разложении в ряд в точке равновесия имеют вид
Рис. 3.12. Поле скоростей для системы (3.32)
( ^ = ц у = 0,5; гх = гу = 0,1; Х (4) = У<4) = 2/3; Y* = 1 )
Коэффициенты при 5£j и 6^2 образуют матрицу линеаризации
|
|
'Щ |
Э/,‘ |
А = «11 |
°2 1 |
дХ |
Э У |
,°12 |
а22 |
э/ 2 |
э/ 2 |
|
|
,ЪХ |
д У . |
Собственные значения Хк этой матрицы найдем из следующего соотношения:
det аи - 1 |
—(«11 ~ ^)(а22 _ М- «12«21 ~ °' |
(3.37) |
«12 |
|
|
Если все собственные значения Хк матрицы А удовлетворяют неравенству Re X* < 0, к= 1, 2, то данное положение равновесия асимптотически устойчиво. Если же хотя бы для одного собствен ного значения вещественная часть больше нуля, то положение не устойчиво.
В зависимости от значений Хк особые точки системы из двух обыкновенных дифференциальных уравнений могут быть четырех типов:
1. Узел —корни Л,| и Х2 действительные и одного знака (рис. 3.13, а,б).
2.Седло —корни Х1иХ2действительные, но разных знаков (рис. 3.13, в). Положение равновесия неустойчиво. Траектории I и II на зываются сепаратрисами.
3.Фокус —корни Ц и ^2 комплексно-сопряженные (но не чисто
мнимые) (рис. 3.13,г,д).
4. Центр —корни Xj и Х2 чисто мнимые (рис. 3.13,е). Запишем (3.37) в виде X2-ВХ+С =0, где В = ап + о22, С =
= ап а22 —ai2a2V Соответственно дискриминант D уравнения име ет вид
D —В2 —4С —(й|j —а22^ ^а12°21'
Для собственных значений получим
(3.38)
Несложный анализ решения (3.38) позволяет сформулировать следующие условия:
1. Если дискриминант равен нулю или один из коэффициен тов С|2 или a2i равен нулю, то приходим к состоянию устойчивого или неустойчивого узла.
г.
Рис. 3.13. Типы особых точек системы двух дифференциальных уравнений:
а— устойчивый узел; б — неустойчивый узел; в — седловая точка;
г— устойчивый фокус; д — неустойчивый фокус; е — центр [64]
2.Если коэффициенты а12и o2i одного знака и не равны нулю, то корни уравнения (3.37) действительные, и возможно состояние как узловой, так и седловой точки.
3.Если коэффициенты а12и а21 имеют разные знаки, не равны
нулю и выполняется условие (оц _а22^2 <Kai2a2i| >т0 ПРИ а\\ = —
а22 получаем чисто мнимые корни уравнения (3.37) и, соответ ственно, условие центральной точки. Иначе неминуемо приходим к состоянию устойчивого или неустойчивого фокуса.
Выполним анализ положений равновесия для системы уравне ний (3.32). Для первой точки равновесия (ЛФ = I*1) = 0) имеем
Так как гх и гу —положительные вещественные числа, то пер вая точка равновесия является неустойчивым узлом. Для второй точки равновесия (Ж2) = 0, № = Y*) имеем
А =
При |1ХУ* < 1 значение Я., положительно, т.е. это положение
равновесия соответствует седловой точке. При |
> 1 значение Я,, |
отрицательно, т.е. имеем устойчивый узел, следовательно, при вы полнении ограничения (3.356) популяция Xвымирает.
Для третьей точки равновесия (Л<3) = 1, I*3) = 0) имеем
При Цу < 1 значение Я,2 положительно, т.е. данное положение
равновесия также является седловой точкой. При |ху > 1 значение
Я.2 отрицательно и опять получаем устойчивый узел. Таким обра зом, при выполнении ограничения (3.356) популяция Y вымирает.
Для четвертой точки равновесия
jf(4)=lz^Zl Y(4]~ Y*~^y
1 - W y ’
получим А =
Если коэффициенты цх и \iy положительны, то имеем коэф
фициенты ап и <*2i одного знака и не равные нулю, т.е. собствен
ные значения Xj и Х2 действительные, и возможно состояние как
узловой, так и седловой точки. Так как Л^4) и положительные, то сумма элементов ац и д22 матрицы линеаризации имеет отри цательное значение. Следовательно, чтобы получить отрицательные
собственные значения Xj и Х2 , необходимо выполнить условие
( й ц + Д22) 2 > ИЛИ а 11а 22 > а 12а 21-
Подставляя значения коэффициентов матрицы линеаризации, находим, что
(3.39)
Полученное ограничение справедливо при выполнении ограниче ния (3.35а).
Таким образом, проведенный анализ позволяет заключить, что совместное существование популяций возможно при выполнении ограничения (3.35а). На рис. 3.14 показана допустимая область зна чений для устойчивого совместного существования популяций. Об ласть представляет собой прямоугольник, один из узлов которого
находится на кривой |
= 1. |
Для построения области необходимо:
1)выбрать значение У* и отложить его на оси ординат;
2)провести через полученную точку горизонтальную линию до
пересечения с кривой |
= 1; |
3) из точки пересечения провести вертикальную линию до пе ресечения с осью абсцисс.