- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •ОПРЕДЕЛЕНИЕ И НАЗНАЧЕНИЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •1.1. ЧТО ТАКОЕ МОДЕЛЬ?
- •Место моделирования среди методов познания
- •Определение модели
- •Определение модели
- •Цели моделирования
- •1.2. КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ
- •Материальное моделирование
- •Идеальное моделирование
- •Когнитивные, концептуальные и формальные модели
- •1.3. Классификация математических моделей
- •Классификационные признаки
- •Классификация математических моделей в зависимости от оператора модели
- •Классификация математических моделей в зависимости от целей моделирования (рис. 1.11)
- •Классификация математических моделей в зависимости от методов реализации (рис. 1.12)
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Глава 2
- •ЭТАПЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
- •2.1. ОБСЛЕДОВАНИЕ ОБЪЕКТА МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •2.2. КОНЦЕПТУАЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •2.3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •2.4. ВЫБОР И ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА МЕТОДА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
- •stop
- •2.5. РЕАЛИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ В ВИДЕ ПРОГРАММЫ ДЛЯ ЭВМ
- •2.6. ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ МОДЕЛИ
- •2.7. ПРАКТИЧЕСКОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПОСТРОЕННОЙ МОДЕЛИ И АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •ПРИМЕРЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
- •3.1. СТАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КОНСТРУКЦИЙ
- •Содержательная постановка задачи
- •Концептуальная постановка задачи
- •Математическая постановка задачи
- •Решение задачи
- •Анализ результатов
- •Концептуальная постановка
- •Математическая постановка задачи
- •Методика решения задачи
- •Анализ результатов
- •3.3. ДИНАМИКА ПОПУЛЯЦИИ
- •Содержательная постановка задачи
- •Концептуальная постановка задачи
- •Решение задачи
- •Анализ результатов
- •Математическая постановка задачи для модели Ферхюльста
- •Решение задачи
- •Анализ результатов
- •Численное исследование модели Ферхюльста
- •3.4. МОДЕЛЬ КОНКУРЕНЦИИ ДВУХ ПОПУЛЯЦИЙ
- •Математическая постановка задачи
- •Качественный анализ задачи
- •Численное исследование модели конкуренции популяций
- •3.5. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
- •Содержательная постановка задачи
- •Концептуальная постановка задачи
- •Математическая постановка задачи
- •Решение задачи
- •Качественный анализ задачи
- •Численное исследование модели
- •Качественный анализ задачи
- •Решение задачи
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Глава 4
- •СТРУКТУРНЫЕ МОДЕЛИ
- •4.1. ЧТО ТАКОЕ СТРУКТУРНАЯ МОДЕЛЬ?
- •4.2. СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ СТРУКТУРНЫХ МОДЕЛЕЙ
- •4.3. ПРИМЕРЫ СТРУКТУРНЫХ МОДЕЛЕЙ
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
- •5.1. ПРИЧИНЫ ПОЯВЛЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ И ИХ ВИДЫ
- •5.2. МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ, ОПИСЫВАЕМОЙ С ПОЗИЦИЙ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
- •5.3. МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ СТОХАСТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
- •5.4. МОДЕЛИРОВАНИЕ МАРКОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
- •6.1. О ЗАКОНЕ ГУКА И ГРАНИЦАХ ЛИНЕЙНОСТИ
- •6.3. О ПОСТРОЕНИИ СПЛОШНЫХ МОДЕЛЕЙ. ВЫВОД ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ ИЗ ЗАКОНОВ МЕХАНИКИ
- •6.4. РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ФУРЬЕ
- •6.6. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
- •6.7. О КЛАССИФИКАЦИИ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
- •6.8. СВЯЗЬ НЕПРЕРЫВНОГО И ДИСКРЕТНОГО НА ПРИМЕРАХ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ И УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
- •6.9. О ПОЛЬЗЕ ФЕНОМЕНОЛОГИИ ПРИ ПОСТРОЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
- •6.10. АНАЛИЗ ПОДОБИЯ И РАЗМЕРНОСТИ
- •6.11. АВТОМОДЕЛЬНОСТЬ
- •6.12. САМООРГАНИЗАЦИЯ И СТРУКТУРЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ
- •6.13. О НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНАХ В СПЛОШНЫХ СРЕДАХ
- •6.14. ИЕРАРХИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ И МНОГОМАСШТАБНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ БАЗИСЫ
- •Иерархический базис для турбулентных полей
- •Одномерный иерархический базис
- •Двумерный базис
- •6.15. ВЕЙВЛЕТЫ
- •Непрерывное вейвлет-преобразование
- •6.16. ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
- •6.17. О ФРАКТАЛАХ И ИХ ПРИМЕНЕНИИ
- •Примеры фракталов
- •Подобие и скейлинг
- •Множества Мандельброта и Жюлиа
- •Фрактальная размерность кластеров
- •Экспериментальные методы определения фрактальной размерности
- •Модель случайных фракталов для описания растущих дендритных структур
- •Результаты применения модели случайных фракталов
- •6.18. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ДНК
- •Структура и физические свойства ДНК
- •Модель Пейрара-Бишопа
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Глава 7
- •7.2. ИМИТАТОР СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
- •7.3. КЛЕТОЧНЫЕ АВТОМАТЫ
- •7.4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИСЛОКАЦИЙ В МЕТАЛЛЕ
- •Самоорганизация дислокаций в модели клеточных автоматов
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •ЯЗЫК ФОРМАЛЬНОГО ОПИСАНИЯ АЛГОРИТМОВ
- •====== Приложение 2
- •П2.1. Решение уравнений высоких степеней и трансцендентных уравнений с одним неизвестным
- •П2.2. Решение систем линейных уравнений
- •БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
- •ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •Введение в математическое моделирование
Определив время из решения (2.14) и подставив его в первое из соотношений (2.13), можно найти дальность броска. Однако в дан ном случае нет возможности определить аналитическое решение со отношения (2.14), что не позволяет построить соотношение для даль ности L броска, аналогичное (2.11). В этом случае можно только сравнить результаты решения (2.10) и (2.13) для некоторых фикси рованных значений v0 и <х0.
Сила сопротивления воздуха зависит не только от £сопр, но и от скорости мяча. Ниже приведены данные сравнения силы сопротив ления по отношению к силе тяжести.
V, м /с |
5 |
10 |
15 |
20 |
F сопру Н с/м |
0,129 |
0,257 |
0,386 |
0,515 |
Fconp /(.mg), % |
2,19 |
4,37 |
6,56 |
8,74 |
Как можно видеть, сила сопротивления воздуха при скорости движения мяча 20 м/с не превышает 10% величины силы тяжести. Однако даже такое незначительное воздействие на движение мяча может существенно сказаться на точности попадания. Так, при броске мяча под углом 45е с начальной скоростью 6,44 м/с дальность броска с учетом и без учета сил сопротивления будет отличаться на 11 см. При радиусе корзины Rk = 23,3 см разница составляет почти поло вину Rk.
Учет сил сопротивления приводит к изменению результатов в задаче о попадании мяча в корзину. Так, при моделировании без учета сопротивления среды броска мяча со штрафной линии при началь ных данных *о = ^0 = Ук = 0, хк = 4,225 м, а0 = 45° полученный в разд. 2.4 результат для начальной скорости v0 составил 6,44 м/с. С учетом сопротивления среды начальная скорость мяча должна быть равной 6,525 м/с, т.е. увеличится на 1,3%.
2.7. ПРАКТИЧЕСКОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПОСТРОЕННОЙ МОДЕЛИ И АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ
Цель расчетов —не числа, а понимание.
Р. Хемминг
Дескриптивные модели, рассмотренные выше, предназначены для описания исследуемых параметров некоторого явления или про-
86
цесса, а также для изучения закономерностей изменения этих па раметров. Эти модели могут использоваться:
>для изучения свойств и особенностей поведения исследуе мого объекта при различных сочетаниях исходных данных и разных режимах;
>как моделирующие блоки в различных САПР и автоматизи рованных системах управления (АСУ);
>при построении оптимизационных моделей и моделей-ими таторов сложных систем и комплексов.
Модели, разрабатываемые для исследовательских целей, как правило, не доводятся до уровня программных комплексов, пред назначенных для передачи сторонним пользователям. Время их су ществования чаще всего ограничено временем выполнения исследо вательских работ по соответствующему направлению. Эти модели отличает поисковый характер, применение новых вычислительных процедур и алгоритмов, неразвитый программный интерфейс.
Модели и построенные на их основе программные комплексы, предназначенные для последующей передачи сторонним пользова телям или коммерческого распространения, имеют развитый дру жественный интерфейс, мощные пре- и постпроцессоры. Данные модели обычно строятся на апробированных и хорошо себя заре комендовавших постановках и вычислительных процедурах. Про граммные комплексы имеют подробные и качественно составлен ные описания и руководства для пользователя; по всем неясным вопросам фирма-производитель проводит консультации. Однако следует помнить, что такие коммерческие модели предназначены только для решения четко оговоренного класса задач. Как прави ло, они не могут быть модернизированы и усовершенствованы. Так, пользователь не имеет возможности самостоятельно расширять биб лиотеку используемых численных методов или изменять систему исходных гипотез.
Независимо от области применения созданной модели группа разработчиков обязана провести качественный и количественный анализ результатов моделирования.
Работая с моделью, разработчики становятся специалистами в области, связанной с объектом моделирования. Они достаточно хорошо представляют свойства объекта, могут предсказать и объяс нить его поведение. Поэтому всесторонний анализ результатов мо делирования позволяет:
>выполнить модификацию рассматриваемого объекта, найти его оптимальные характеристики или, по крайней мере, луч шим образом учесть его поведение и свойства;
>обозначить область применения модели, что особенно важ но в случае использования моделей для систем автоматичес кого управления;
>проверить обоснованность гипотез, принятых на этапе мате матической постановки, оценить возможность упрощения модели с целью повышения ее эффективности при сохране нии требуемой точности;
>показать, в каком направлении следует развивать модель в дальнейшем.
Пример. Анализ результатов решения задачи о баскетболисте.
Соотношения (2.10)—(2.12) представляют аналитическое решение задачи о баскетболисте без учета сил сопротивления среды, а соотно шения (2.13)—(2.14) —с учетом этих сил. Достоинством первого ре шения является его простота, а к недостаткам можно отнести мень шую по сравнению с (2.13), (2.14) точность. Невозможность получе ния аналитических оценок для дальности броска следует считать недостатками решения (2.13) и (2.14). Это обстоятельство затрудняет аналитический анализ данного решения. Вместе с тем, как следует из приведенных в предыдущем разделе оценок начальной скорости броска, ее изменение для решения (2.13) и (2.14) составляет несколько процентов, что позволяет не отбрасывать решение (2.10)—(2.12) и вы полнить его анализ.
Из соотношения (2.11) можно заключить, что заданную величи ну дальности броска можно определить при двух значениях угла бро сания, обеспечивающих настильную (при а0 < 45°) и навесную (при а0 > 45°) траектории движения мяча. При а0 = 45° указанные траек тории совпадают. Для обеспечения одинаковой точности (при отсут ствии сопротивления) для навесной и настильной траекторий началь ные скорости мяча должны быть одинаковы.
Для оценки точности попадания мяча в кольцо рассмотрим си туации, возникающие при подлете мяча к корзине со скоростью v под углом ср к плоскости корзины (рис. 2.5).
Отрезок АВ длиной 2d определяет шири ну коридора так называемого «чистого» попадания мяча в корзину.
Задачу определения d можно свести к чисто геометрической. Для этого доста точно определить длину гипотенузы пря моугольного треугольника АСВи вычесть ее из величины внутреннего радиуса кор зины:
Рис. 2.5. Схема к оценке d = Rk -R/sinq>. (2.15)
точности броска
Величина d получилась зависящей от угла падения <р мяча. При d = О можно найти минимальное значение ф ^ , при котором еще возмож но «чистое» попадание мяча:
s^Pmm = - № |
(2-16) |
Принимая внутренний радиус кольца корзины Rk равным |
|
0,225 м, получаем значение минимального угла |
= 32,2° |
Если рассматривать броски при условии ук = у0, то в отсутствии силы сопротивления воздуха угол падения ф мяча равен углу его бро сания а0. В этом случае для обеспечения чистого попадания мяча в корзину угол <х0 должен быть больше ф ^ = 32,2°
Проведенный анализ позволяет ввести ограничение на точность броска: - d < A < d . В предельном случае, учитывая (2.12) и выражая дальность, получим L = x k ±d. Подставив выражение для дальности (2.11) и определив из полученного соотношения начальную скорость мяча, найдем
Соотношение (2.17) определяет интервал начальных скоростей, обеспечивающих чистое попадание мяча в корзину при заданном угле бросания.
На рис. 2.6,а приведена графическая иллюстрация соотношения (2.17). Допустимые начальные скорости мяча образуют С-образную полоску. Черная полоска соответствует чистому попаданию по моде ли (2.10)—(2.12). Серая полоска соответствует попаданию по модели (2.13). Изменение ширины полосок в зависимости от величины угла бросания приведено на рис. 2.6,6. Учет силы сопротивления приво-
аь, град |
Л уо, м/с |
|
а ) |
6 ) |
Рис. 2.6. Соотношения начальной скорости и угла оросания со штрафной линии, обеспечивающие чистое попадание мяча в корзину
(1 — без учета сопротивления; 2 —с учетом сопротивления)