- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •ОПРЕДЕЛЕНИЕ И НАЗНАЧЕНИЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •1.1. ЧТО ТАКОЕ МОДЕЛЬ?
- •Место моделирования среди методов познания
- •Определение модели
- •Определение модели
- •Цели моделирования
- •1.2. КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ
- •Материальное моделирование
- •Идеальное моделирование
- •Когнитивные, концептуальные и формальные модели
- •1.3. Классификация математических моделей
- •Классификационные признаки
- •Классификация математических моделей в зависимости от оператора модели
- •Классификация математических моделей в зависимости от целей моделирования (рис. 1.11)
- •Классификация математических моделей в зависимости от методов реализации (рис. 1.12)
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Глава 2
- •ЭТАПЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
- •2.1. ОБСЛЕДОВАНИЕ ОБЪЕКТА МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •2.2. КОНЦЕПТУАЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •2.3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •2.4. ВЫБОР И ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА МЕТОДА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
- •stop
- •2.5. РЕАЛИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ В ВИДЕ ПРОГРАММЫ ДЛЯ ЭВМ
- •2.6. ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ МОДЕЛИ
- •2.7. ПРАКТИЧЕСКОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПОСТРОЕННОЙ МОДЕЛИ И АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •ПРИМЕРЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
- •3.1. СТАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КОНСТРУКЦИЙ
- •Содержательная постановка задачи
- •Концептуальная постановка задачи
- •Математическая постановка задачи
- •Решение задачи
- •Анализ результатов
- •Концептуальная постановка
- •Математическая постановка задачи
- •Методика решения задачи
- •Анализ результатов
- •3.3. ДИНАМИКА ПОПУЛЯЦИИ
- •Содержательная постановка задачи
- •Концептуальная постановка задачи
- •Решение задачи
- •Анализ результатов
- •Математическая постановка задачи для модели Ферхюльста
- •Решение задачи
- •Анализ результатов
- •Численное исследование модели Ферхюльста
- •3.4. МОДЕЛЬ КОНКУРЕНЦИИ ДВУХ ПОПУЛЯЦИЙ
- •Математическая постановка задачи
- •Качественный анализ задачи
- •Численное исследование модели конкуренции популяций
- •3.5. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
- •Содержательная постановка задачи
- •Концептуальная постановка задачи
- •Математическая постановка задачи
- •Решение задачи
- •Качественный анализ задачи
- •Численное исследование модели
- •Качественный анализ задачи
- •Решение задачи
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Глава 4
- •СТРУКТУРНЫЕ МОДЕЛИ
- •4.1. ЧТО ТАКОЕ СТРУКТУРНАЯ МОДЕЛЬ?
- •4.2. СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ СТРУКТУРНЫХ МОДЕЛЕЙ
- •4.3. ПРИМЕРЫ СТРУКТУРНЫХ МОДЕЛЕЙ
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
- •5.1. ПРИЧИНЫ ПОЯВЛЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ И ИХ ВИДЫ
- •5.2. МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ, ОПИСЫВАЕМОЙ С ПОЗИЦИЙ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
- •5.3. МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ СТОХАСТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
- •5.4. МОДЕЛИРОВАНИЕ МАРКОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
- •6.1. О ЗАКОНЕ ГУКА И ГРАНИЦАХ ЛИНЕЙНОСТИ
- •6.3. О ПОСТРОЕНИИ СПЛОШНЫХ МОДЕЛЕЙ. ВЫВОД ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ ИЗ ЗАКОНОВ МЕХАНИКИ
- •6.4. РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ФУРЬЕ
- •6.6. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
- •6.7. О КЛАССИФИКАЦИИ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
- •6.8. СВЯЗЬ НЕПРЕРЫВНОГО И ДИСКРЕТНОГО НА ПРИМЕРАХ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ И УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
- •6.9. О ПОЛЬЗЕ ФЕНОМЕНОЛОГИИ ПРИ ПОСТРОЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
- •6.10. АНАЛИЗ ПОДОБИЯ И РАЗМЕРНОСТИ
- •6.11. АВТОМОДЕЛЬНОСТЬ
- •6.12. САМООРГАНИЗАЦИЯ И СТРУКТУРЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ
- •6.13. О НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНАХ В СПЛОШНЫХ СРЕДАХ
- •6.14. ИЕРАРХИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ И МНОГОМАСШТАБНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ БАЗИСЫ
- •Иерархический базис для турбулентных полей
- •Одномерный иерархический базис
- •Двумерный базис
- •6.15. ВЕЙВЛЕТЫ
- •Непрерывное вейвлет-преобразование
- •6.16. ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
- •6.17. О ФРАКТАЛАХ И ИХ ПРИМЕНЕНИИ
- •Примеры фракталов
- •Подобие и скейлинг
- •Множества Мандельброта и Жюлиа
- •Фрактальная размерность кластеров
- •Экспериментальные методы определения фрактальной размерности
- •Модель случайных фракталов для описания растущих дендритных структур
- •Результаты применения модели случайных фракталов
- •6.18. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ДНК
- •Структура и физические свойства ДНК
- •Модель Пейрара-Бишопа
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Глава 7
- •7.2. ИМИТАТОР СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
- •7.3. КЛЕТОЧНЫЕ АВТОМАТЫ
- •7.4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИСЛОКАЦИЙ В МЕТАЛЛЕ
- •Самоорганизация дислокаций в модели клеточных автоматов
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •ЯЗЫК ФОРМАЛЬНОГО ОПИСАНИЯ АЛГОРИТМОВ
- •====== Приложение 2
- •П2.1. Решение уравнений высоких степеней и трансцендентных уравнений с одним неизвестным
- •П2.2. Решение систем линейных уравнений
- •БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
- •ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •Введение в математическое моделирование
Анализ результатов
Аналитическое решение (3.6) позволяет заключить, что все че тыре опоры являются равнонагруженными. Данный результат мож но считать ожидаемым, учитывая симметричность конструкции моста, что может служить подтверждением правильности получен ных результатов. Вертикальные составляющие реакции связи каж дой опоры равны 1/4 веса всего моста. Горизонтальные составля ющие реакции связи зависят от отношения a/h, т.е. реакция тем больше, чем ближе центр тяжести половинки арки расположен к шарниру Е, и тем меньше, чем выше пролет моста.
Для приведенных выше исходных данных получаем ХА = Хв =
=ХС= XD = 15 кН; Ya = Yc = Yb = YD = 60 кН; XE = 30 кН; YE = = ZE = 0.
3.2.МОДЕЛЬ СПРОСА-ПРЕДЛОЖЕНИЯ*
Содержательная постановка задачи
Некий фермер каждый год выращивает на своем поле пшени цу на продажу. Запасов, которые хранились бы больше года, он не делает. Решение о том, сколько пшеницы сеять, принимается с учетом цен предыдущего года. Причем если цены были высокие, то в предстоящем году надо сеять пшеницы больше, а если низкие —меньше. Спрос на пшеницу в течение года зависит от ее цены в момент продажи. Когда цена растет, спрос падает.
Необходимо описать поведение цен в ближайшие годы как фун кцию от первоначальной цены.
Концептуальная постановка
В качестве параметров модели используем следующие:
>р„ —цена за единицу массы пшеницы в и-й год (рп>0); >sn —предложение (объем поставок) пшеницы в л-й год (в при
нятых единицах массы, sn > 0);
>dn —спрос на пшеницу в л-й год (в единицах массы, dn > 0). Построение модели будем вести при некоторых предпосылках:
>Объектом исследования является зависимость цены рп на пшеницу от ее первоначальной цены р0.
*Условие и решение задачи заимствовано из [99].
> Предложение sn+l будущего года зависит линейно от цены рп в этом году, причем чем выше рп, тем больше sn+1:
sn + i = aPn - b’
где а и b —положительные константы, неизменные на протя жении всего анализируемого периода времени. Очевидно, что цена на пшеницу не должна быть меньше некоторой минималь ной величины, покрывающей затраты на ее производство, так как лишь в этом случае величина предложения 5я+1 будет боль ше нуля.
> Спрос будущего года dn+l зависит линейно от цены рп+1 в том же году, причем чем выше цена рп+j , тем меньше спрос
^л+1:
dn+\ = - °Рп+\+
где с и g —положительные константы, неизменные на протя жении всего анализируемого периода времени. Очевидно, что самый большой спрос на пшеницу должен существовать при
Рп+1 = 0- > Рыночная цена рл+1 определяется равновесием между спро
сом dn+l и предложением sn+l.
Требуется описать поведение ценрх, р2, р3, ... в зависимости от значения цены р0.
Математическая постановка задачи
Считая значение р0 заданным, найти последовательность зна чений Рх,Р2 ,Рз,—, удовлетворяющих следующим уравнениям:
s„+1 = °Рп ~ ь> |
(3-8) |
dn+1 = - °Рп+1 + 8, |
(3.9) |
sn+1 = dn+l’ |
(3.10) |
где a, b,c,g —положительные вещественные числа, причем отно шения b/а и g/c характеризуют, соответственно, минимально и мак симально допустимые цены (при выполнении условий s„+1 > 0 и dn+\ >0), а величина g — максимально возможный спрос (при рп+1 = 0). В результате имеем систему трех уравнений с тремя не известными, т.е. модель математически корректна.