- •Элементы уравнений математической физики
- •Введение
- •1. Основные уравнения математической физики
- •1.1. Уравнение колебаний струны.
- •1.2. Решение задач о колебаниях бесконечной и полуограниченной cтруны (метод Даламбера)
- •1.3. Продольные колебания стержня
- •1.4. Колебания стержня с одним закрепленным концом
- •1.5. Продольный удар груза по стержню
- •1.6. Метод Фурье решения задачи о колебаниях конечной струны с закрепленными концами
- •1.7. Вынужденные колебания струны с закрепленными концами
- •1.8. Общая схема метода разделения переменных (метода Фурье). Задача Штурма-Лиувилля
- •1.9. Уравнение колебаний мембраны.
- •1.10. Решение задачи о радиальных колебаниях круглой мембраны
- •1.11. Решение задачи о продольные колебания стержня методом Фурье
- •1.12. Уравнение распространения тепла в изотропном твердом теле.
- •1.13. Решение задачи теплопроводности бесконечного и полуограниченного стержня
- •1.14. Задача теплопроводности в бесконечном цилиндре
- •1.15. Решение задачи теплопроводности в конечном стержне
- •1.16. Решение задачи теплопроводности в однородном шаре
- •1.17. Задачи, приводящие к уравнению Лапласа
- •1.18. Общий вид уравнения эллиптического типа
- •1.19. Фундаментальные решения. Функция Грина
- •1.20. Условия разрешимости граничных задач
- •1.21. Понятие гармонической функции.
- •1. Случай пространственной области.
- •2. Случай плоской области.
- •1.22. Решение задачи Дирихле для круга методом Фурье.
- •1.23. Решение задачи Дирихле в шаре для уравнения Лапласа ( метод Фурье)
- •1.24. Задача Дирихле для одномерного и двумерного случаев.
- •2. Классификация уравнений второго порядка
- •2. I. Типы уравнений второго порядка.
- •2.2. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •2.3. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными.
- •3. Уравнения гиперболического типа с двумя независимыми переменными
- •3.1. Задача Коши
- •3.2. Задача Гурса
- •3.3. Метод Римана
- •Задачи электротехники
- •4.1. Дифференциальные уравнения свободных электрических колебаний
- •4.2. Телеграфное уравнение
- •4.3. Интегрирование телеграфного уравнения по методу Римана
- •5. Уравнения первого порядка
- •5.I. Квазилинейные дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными
- •5.2. Нелинейные дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными.
- •5.3. Нелинейные дифференциальные уравнения с п независимыми переменными.
- •6.2. Метод сеток решения задачи Дирихле на плоскости
- •6.3. Метод сеток решения уравнения гиперболического типа
- •6.4. Метод сеток решения уравнения параболического типа на отрезке
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
1.9. Уравнение колебаний мембраны.
Мембраной называют свободно изгибающуюся натянутую пленку. Пусть в положении равновесия мембрана расположена в плоскости хОу и занимает некоторую область D, ограниченную замкнутой кривой L. Далее предположим, что мембрана находится под действием равномерного натяжения Т, приложенного к краям мембраны. Это означает, что если провести линию по мембране в любом направлении, то сила взаимодействия между двумя частями, разделенными элементами линии, пропорциональна длине элемента и перпендикулярна его направлению; величина силы, действующая на элемент ds линии, будет равна Tds. Будем рассматривать только поперечные колебания мембраны, при которых каждая ее точка движется перпендикулярно плоскости хОу, параллельно оси Оu. Тогда смещение и точки (х, у) мембраны будет функцией от х, у и t. Рассматривая далее только малые колебания мембраны, будем считать, что функция u(х, у, t), а также ее частные производные по х и у малы, так что квадратами и произведениями их можно пренебречь по сравнению с самими этими величинами. Выделим произвольный участок (σ) мембраны, ограниченный в положении равновесия кривой L . Когда мембрана будет выведена из положения равновесия, этот участок мембраны деформируется в участок σ/ поверхности мембраны, ограниченный пространственной кривой l/. Площадь участка σ/ в момент времени t равна
Таким образом, при наших предположениях можно пренебречь изменением площади произвольно взятого участка мембраны в процессе колебаний и считать, что любой участок σ/ мембраны будет находиться под действием первоначального натяжения Т.
Перейдем к выводу уравнения поперечных колебаний мембраны. Рассмотрим произвольный участок σ/ мембраны. Со стороны остальной части мембраны на этот участок действует направленное по нормали к контуру l/ равномерно распределенное натяжение Т, лежащее в касательной плоскости к поверхности мембраны. Найдем проекцию на ось Оu сил натяжения, приложенных к кривой L/, ограничивающей участок σ/ мембраны. Обозначим через ds' элемент дуги кривой dl/. На этот элемент действует натяжение, равное по величине Tds'. Косинус угла, образованного вектором натяжения Т с осью Оu, очевидно, равен, в силу наших предположений, , где n — направление внешней нормали к кривой l, ограничивающей участок а мембраны в положении равновесия
Рис. 1.16.
(рис. 1.16). Отсюда следует, что проекция на ось Оu сил натяжения, приложенных к элементу ds' контура, равна и, стало быть, проекция на ось Оu сил натяжения, приложенных ко всему контуру, равна
Так как при малых колебаниях мембраны можно считать ds≈ ds', то, применяя формулу Грина, получим
Предположим далее, что на мембрану параллельно оси Оu действует внешняя сила р (х, у, t), рассчитанная на единицу площади. Тогда проекция на ось Оu внешней силы действующей на участок σ/ мембраны, будет равна
Силы должны в любой момент времени t уравновешиваться силами инерции участка σ/ мембраны
где 𝝆(х, у) — поверхностная ,плотность мембраны.
Таким образом, мы получаем равенство
Отсюда в силу произвольности площадки следует, что
Это есть дифференциальное уравнение поперечных колебаний мембраны. В случае однородной мембраны
= const уравнение малых колебаний мембраны можно записать в виде
где
Если внешняя сила отсутствует, т. е. р(х, у, t) = 0, то получаем уравнение свободных колебаний однородной мембраны
Как и при рассмотрении колебаний струны, одного этого уравнения недостаточно для полного определения движения мембраны; нужно задать смещение и скорость ее точек в начальный момент времени:
Далее, так как на контуре L мембрана закреплена, то должно быть при любом t≥0.