- •Элементы уравнений математической физики
- •Введение
- •1. Основные уравнения математической физики
- •1.1. Уравнение колебаний струны.
- •1.2. Решение задач о колебаниях бесконечной и полуограниченной cтруны (метод Даламбера)
- •1.3. Продольные колебания стержня
- •1.4. Колебания стержня с одним закрепленным концом
- •1.5. Продольный удар груза по стержню
- •1.6. Метод Фурье решения задачи о колебаниях конечной струны с закрепленными концами
- •1.7. Вынужденные колебания струны с закрепленными концами
- •1.8. Общая схема метода разделения переменных (метода Фурье). Задача Штурма-Лиувилля
- •1.9. Уравнение колебаний мембраны.
- •1.10. Решение задачи о радиальных колебаниях круглой мембраны
- •1.11. Решение задачи о продольные колебания стержня методом Фурье
- •1.12. Уравнение распространения тепла в изотропном твердом теле.
- •1.13. Решение задачи теплопроводности бесконечного и полуограниченного стержня
- •1.14. Задача теплопроводности в бесконечном цилиндре
- •1.15. Решение задачи теплопроводности в конечном стержне
- •1.16. Решение задачи теплопроводности в однородном шаре
- •1.17. Задачи, приводящие к уравнению Лапласа
- •1.18. Общий вид уравнения эллиптического типа
- •1.19. Фундаментальные решения. Функция Грина
- •1.20. Условия разрешимости граничных задач
- •1.21. Понятие гармонической функции.
- •1. Случай пространственной области.
- •2. Случай плоской области.
- •1.22. Решение задачи Дирихле для круга методом Фурье.
- •1.23. Решение задачи Дирихле в шаре для уравнения Лапласа ( метод Фурье)
- •1.24. Задача Дирихле для одномерного и двумерного случаев.
- •2. Классификация уравнений второго порядка
- •2. I. Типы уравнений второго порядка.
- •2.2. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •2.3. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными.
- •3. Уравнения гиперболического типа с двумя независимыми переменными
- •3.1. Задача Коши
- •3.2. Задача Гурса
- •3.3. Метод Римана
- •Задачи электротехники
- •4.1. Дифференциальные уравнения свободных электрических колебаний
- •4.2. Телеграфное уравнение
- •4.3. Интегрирование телеграфного уравнения по методу Римана
- •5. Уравнения первого порядка
- •5.I. Квазилинейные дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными
- •5.2. Нелинейные дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными.
- •5.3. Нелинейные дифференциальные уравнения с п независимыми переменными.
- •6.2. Метод сеток решения задачи Дирихле на плоскости
- •6.3. Метод сеток решения уравнения гиперболического типа
- •6.4. Метод сеток решения уравнения параболического типа на отрезке
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
1.6. Метод Фурье решения задачи о колебаниях конечной струны с закрепленными концами
Рассмотрим другой метод решения задачи о колебаниях конечной струны. Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения
удовлетворяющее начальным условиям:
и граничным условиям:
Найдем сначала частные решения нашего уравнения , отличные от тождественного нуля, удовлетворяющие граничным условиям . Эти решения будем искать в виде где и отличны от тождественного нуля и Дифференцируя функцию дважды по переменным t и x и подставляя полученные производные в уравнение получим
или
Левая часть этого уравнения не зависит от х, правая не зависит от t, поэтому правая и левая часть может быть только постоянной. Обозначая эту постоянную через , получим дифференциальные уравнения для определения функции и :
Решение уравнений отличны от тождественного нуля и
Ненулевые решения уравнения, удовлетворяющие граничному условию , называются собственными функциями, а те значения ,для которых эти решения существуют, называются собственными значениями краевой задачи . Легко показать, что если то наше уравнение имеет единственное решение удовлетворяющее граничному условию . Поэтому будем рассматривать случаи, когда
Общее решение уравнения имеет вид Полагая в нем х=0 и х=l, получим систему уравнений для определения и
Отсюда следует, что Так как то , следовательно, , то есть где n=1,2…Таким образом, наше уравнение имеет ненулевые решения, удовлетворяющие граничному условию только при и эти решения имеют вид
Полагая получим уравнение для определения функций Общее решение этих уравнений имеет вид
Таким образом, мы получили бесконечно много частных решений
нашего уравнения, удовлетворяющих граничному условию .
Дифференциальное уравнение линейное однородное. Поэтому сумма конечного числа частных решений этого уравнения также является решением уравнения , удовлетворяющим граничному условию . Допустим, что решение исходной задачи можно искать в виде суммы бесконечного числа частных решений , то есть в виде ряда
коэффициенты и которого находятся таким образом, чтобы выполнялись начальные условия . Это возможно, если ряд можно дифференцировать дважды по переменным t и x. Дифференцируя ряд по переменной t, получим
Полагая здесь , получим Следовательно, числа и являются коэффициентами Фурье в разложении функций и в ряд Фурье по синусам на отрезке [0,l], то есть
или
Таким образом, решение поставленной задачи имеет вид
,
где
Остается открытым вопрос, при выполнении каких условий ряд можно дифференцировать дважды переменным t и х. Приведем без доказательства ответ на этот вопрос.
Теорема. Если функция кусочно-непрерывную производную на отрезке [0,l] и удовлетворяет граничному условию то ряд можно дифференцировать почленно дважды по переменным t и х.
Физическая интерпретация решения
Колебания конечной струны с закрепленными концами получаются от наложения бесконечно большого числа колебаний, описываемых функциями :
каждое из которых называется собственным колебанием струны. Функции можно представить в виде
где Эта формула показывает, что собственное колебание любой точки х струны – это гармоническое колебание с амплитудой и начальной фазой . Притом все точки струны одновременно проходят состояние равновесия и одновременно достигают максимального отклонения от положения равновесия. Такие колебания называются стоячими волнами. На рис. 1.13-1.15 показана форма струны в разные моменты времени для n=1, n=2 и n=3.
Рис. 1.13. Рис. 1.14.
Рис. 1.15.
Те точки струны, которые в процессе колебаний остаются неподвижными, называются узловыми точками, а те точки струны, которые имеют максимальную амплитуду колебаний, называются пучностями. Узловые точки определяются из уравнения Следовательно, узловыми точками n-й стоячей волны являются точки (k=0,1,2,…,n), пучностями точки - (k=0,1,2,…,n-1).