- •Элементы уравнений математической физики
- •Введение
- •1. Основные уравнения математической физики
- •1.1. Уравнение колебаний струны.
- •1.2. Решение задач о колебаниях бесконечной и полуограниченной cтруны (метод Даламбера)
- •1.3. Продольные колебания стержня
- •1.4. Колебания стержня с одним закрепленным концом
- •1.5. Продольный удар груза по стержню
- •1.6. Метод Фурье решения задачи о колебаниях конечной струны с закрепленными концами
- •1.7. Вынужденные колебания струны с закрепленными концами
- •1.8. Общая схема метода разделения переменных (метода Фурье). Задача Штурма-Лиувилля
- •1.9. Уравнение колебаний мембраны.
- •1.10. Решение задачи о радиальных колебаниях круглой мембраны
- •1.11. Решение задачи о продольные колебания стержня методом Фурье
- •1.12. Уравнение распространения тепла в изотропном твердом теле.
- •1.13. Решение задачи теплопроводности бесконечного и полуограниченного стержня
- •1.14. Задача теплопроводности в бесконечном цилиндре
- •1.15. Решение задачи теплопроводности в конечном стержне
- •1.16. Решение задачи теплопроводности в однородном шаре
- •1.17. Задачи, приводящие к уравнению Лапласа
- •1.18. Общий вид уравнения эллиптического типа
- •1.19. Фундаментальные решения. Функция Грина
- •1.20. Условия разрешимости граничных задач
- •1.21. Понятие гармонической функции.
- •1. Случай пространственной области.
- •2. Случай плоской области.
- •1.22. Решение задачи Дирихле для круга методом Фурье.
- •1.23. Решение задачи Дирихле в шаре для уравнения Лапласа ( метод Фурье)
- •1.24. Задача Дирихле для одномерного и двумерного случаев.
- •2. Классификация уравнений второго порядка
- •2. I. Типы уравнений второго порядка.
- •2.2. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •2.3. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными.
- •3. Уравнения гиперболического типа с двумя независимыми переменными
- •3.1. Задача Коши
- •3.2. Задача Гурса
- •3.3. Метод Римана
- •Задачи электротехники
- •4.1. Дифференциальные уравнения свободных электрических колебаний
- •4.2. Телеграфное уравнение
- •4.3. Интегрирование телеграфного уравнения по методу Римана
- •5. Уравнения первого порядка
- •5.I. Квазилинейные дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными
- •5.2. Нелинейные дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными.
- •5.3. Нелинейные дифференциальные уравнения с п независимыми переменными.
- •6.2. Метод сеток решения задачи Дирихле на плоскости
- •6.3. Метод сеток решения уравнения гиперболического типа
- •6.4. Метод сеток решения уравнения параболического типа на отрезке
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
1.4. Колебания стержня с одним закрепленным концом
Решим в качестве примера следующую задачу. Упругий цилиндрический стержень, имеющий в нерастянутом (естественном) состоянии длину l, закрепляется в конце х = 0 и затем растягивается за конец х = 1 до длины l1; после этого конец х =l отпускается, вследствие чего в стержне образуются продольные колебания. Требуется определить скорость колебания произвольного сечения возмущенного стержня. Определим функции f (х) и F(x), входящие в начальные условия, считая, что в начальный момент времени смещение сечения с абсциссой х пропорционально этой абсциссе. Положим
где r—множитель пропорциональности, который легко определяется, если принять во внимание то обстоятельство, что в начальный момент времени смещение на конце х = l стержня равно l1—l, т. е. T=0, l1—l=rl или r=(l1—l)/l . Кроме того, так как скорости всех промежуточных сечений стержня в начальный момент времени равны нулю, то
Мы знаем, что общее решение уравнения имеет вид
Определим функции φ и ψ так, чтобы оно удовлетворяло граничным условиям и начальным условиям . Из первого граничного условия следует, что или ψ(z)= -φ(z) (z=at ), вследствие чего формула принимает вид
Дифференцируя это равенство по х и полагая затем х = l, приходим, в силу второго из граничных условий, к следующему результату: или, обозначая переменный аргумент at-l через z, получим равенство с помощью которого легко найти выражение функции для всех значений z. В самом деле, в силу начальных условий имеем (0<x<l)
. Дифференцируя равенство по х и решая полученное уравнение совместно с уравнением , найдем следующее выражение функции φ(z)= , справедливое для всех значений z, лежащих в интервале -l<z<l. Тогда φ(z)= для всех значений z, удовлетворяющих l<z<3l. Теперь остается заметить, что функция φ(z) имеет период 4l и тогда ясно, что функция φ(z) определяется при всех значениях z. Воспользуемся найденными результатами, чтобы представить себе картину распространения волн в возмущенном стержне. Обозначим через υ скорость поперечного сечения стержня с абсциссой х; эта скорость находится на основании формулы, в силу которой
С помощью этой формулы нетрудно разобраться, какие волны подходят в определенные моменты времени к сечению Р с абсциссой х. В самом деле, так как эта абсцисса лежит внутри интервала (-l, l), то, начиная с момента t = 0 до момента времени t = , оба аргумента функций, входящих в правую часть
формулы, не будут выходить за пределы интервала (-l, l).
Отсюда, вытекает, что
другими словами, в течение времени t = , считая от момента начала колебаний, сечение Р остается в покое. Оно начнет колебаться с момента t = , когда к нему подойдет обратная волна, вышедшая в начальный момент времени из возмущенного конца х=l. Определим скорость сечения Р. Когда время изменяется от момента t = до момента t = , аргумент функции φ(at-x)изменяется в интервалaе (—l, l), а аргумент функции φ(at+x)— в интервале (l, 3l). Далее получим, что в течение времени
сечение Р будет обладать скоростью, определяемой равенством
а теперь, что будет происходить в стержне с момента времени t = . К этому моменту к сечению Р подойдет прямая волна, которая произошла от обратной волны, отразившейся в момент t = от закрепленного конца x = 0.
Нетрудно показать, что с момента времени t = до момента t = сечение Р будет находиться в состоянии покоя. В самом деле, в течение указанного времени оба аргумента функций лежат внутри интервала (l, 3l); вследствие этого вытекает, что а момент времени t = к сечению Р снова подойдет обратная волна, которая получилась от прямой волны, после того как последняя отразилась от свободного конца х = l в момент t = . Эта волна будет оказывать свое действие на сечение Р до момента времени t = . Действительно, когда t изменяется в пределах от до , аргумент функции φ (at—х) не выходит из интервала (l, 3l), а аргумент функции φ (at+х) — из интервала (3l, 5l), вследствие чего
Теперь остается лишь исследовать промежуток времени от t = до t= . В течение этого времени сечение Р снова придет в состояние покоя. Действительно, в момент времени t = к этому сечению подойдет прямая волна, образовавшаяся из обратной волны, после того как последняя отразилась от закрепленного конца в момент времени t = . Действие этой волны на сечение Р скажется следующим образом. Так как при t, изменяющемся в промежутке
( , ) , обе функции имеют свои аргументы в интервале (3l, 5l), то откуда ясно, что в течение времени t = сечение Р будет находиться в состоянии покоя. Далее вся картина распространения волн будет повторяться, так как функция φ(z) имеет период 4l.