- •Элементы уравнений математической физики
- •Введение
- •1. Основные уравнения математической физики
- •1.1. Уравнение колебаний струны.
- •1.2. Решение задач о колебаниях бесконечной и полуограниченной cтруны (метод Даламбера)
- •1.3. Продольные колебания стержня
- •1.4. Колебания стержня с одним закрепленным концом
- •1.5. Продольный удар груза по стержню
- •1.6. Метод Фурье решения задачи о колебаниях конечной струны с закрепленными концами
- •1.7. Вынужденные колебания струны с закрепленными концами
- •1.8. Общая схема метода разделения переменных (метода Фурье). Задача Штурма-Лиувилля
- •1.9. Уравнение колебаний мембраны.
- •1.10. Решение задачи о радиальных колебаниях круглой мембраны
- •1.11. Решение задачи о продольные колебания стержня методом Фурье
- •1.12. Уравнение распространения тепла в изотропном твердом теле.
- •1.13. Решение задачи теплопроводности бесконечного и полуограниченного стержня
- •1.14. Задача теплопроводности в бесконечном цилиндре
- •1.15. Решение задачи теплопроводности в конечном стержне
- •1.16. Решение задачи теплопроводности в однородном шаре
- •1.17. Задачи, приводящие к уравнению Лапласа
- •1.18. Общий вид уравнения эллиптического типа
- •1.19. Фундаментальные решения. Функция Грина
- •1.20. Условия разрешимости граничных задач
- •1.21. Понятие гармонической функции.
- •1. Случай пространственной области.
- •2. Случай плоской области.
- •1.22. Решение задачи Дирихле для круга методом Фурье.
- •1.23. Решение задачи Дирихле в шаре для уравнения Лапласа ( метод Фурье)
- •1.24. Задача Дирихле для одномерного и двумерного случаев.
- •2. Классификация уравнений второго порядка
- •2. I. Типы уравнений второго порядка.
- •2.2. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •2.3. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными.
- •3. Уравнения гиперболического типа с двумя независимыми переменными
- •3.1. Задача Коши
- •3.2. Задача Гурса
- •3.3. Метод Римана
- •Задачи электротехники
- •4.1. Дифференциальные уравнения свободных электрических колебаний
- •4.2. Телеграфное уравнение
- •4.3. Интегрирование телеграфного уравнения по методу Римана
- •5. Уравнения первого порядка
- •5.I. Квазилинейные дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными
- •5.2. Нелинейные дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными.
- •5.3. Нелинейные дифференциальные уравнения с п независимыми переменными.
- •6.2. Метод сеток решения задачи Дирихле на плоскости
- •6.3. Метод сеток решения уравнения гиперболического типа
- •6.4. Метод сеток решения уравнения параболического типа на отрезке
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
2. Классификация уравнений второго порядка
2. I. Типы уравнений второго порядка.
Рассмотрим уравнение второго порядка
Коэффициенты aij- — заданные функции в области D пространства (x1, ...xn), причем аij = аji. Все функции и независимые переменные считаем вещественными
Дадим классификацию уравнений . Зафиксируем определенную точку (x01 ..., хт) в области D и составим квадратичную форму
Уравнение принадлежит эллиптическому типу в точке (x01,…,x0n) если в этой точке квадратичная форма положительно определенная или отрицательно определенная.
Уравнение принадлежит гиперболическому типу в точке(x01,…,x0n) если в этой точке квадратичная форма при приведении ее к сумме квадратов имеет все коэффициенты, кроме одного, определенного знака, а оставшийся один коэффициент противоположного знака.
Уравнение принадлежит ультрагиперболическому типу в точке (x01,…,x0 n),если в этой точке квадратичная форма при приведении ее к сумме квадратов имеет больше одного положительного коэффициента и больше одного отрицательного, причем все коэффициенты отличны от нуля. Уравнение принадлежит параболическому типу в точке (x01,…,x0 n )если в этой точке квадратичная форма при приведении ее к сумме квадратов -имеет только один коэффициент, равный нулю, все же другие коэффициенты имеют одинаковые знаки.
Уравнение принадлежит эллиптическому типу соответственно гиперболическому типу и т. д. в области D, если во всех точках этой области оно принадлежит эллиптическому типу, соответственно гиперболическому типу и т. д. Если коэффициенты aij постоянные, то принадлежность уравнения к тому или иному типу не зависит от значений независимых переменных. Простейшим уравнением эллиптического типа является уравнение Лапласа; уравнением гиперболического типа является волновое уравнение и, наконец, уравнением параболического типа — уравнение теплопроводности.
2.2. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Пусть дано уравнение с постоянными коэффициентами
Введем вместо (x1,…,xn) новые независимые переменные (ξ1,…,ξn) при помощи линейного преобразования
Мы предполагаем, что преобразование неособенное, т. е. что определитель |cki| не равен нулю. Производные по старым переменным выразятся через производные по новым переменным следующими формулами:
В новых координатах наше уравнение имеет вид:
где
Нетрудно проверить, что формулы преобразования коэффициентов при вторых производных от функции u при замене независимых переменных по формулам совпадают с формулами преобразования коэффициентов квадратичной формы
если в ней произвести линейное преобразование
приводящее ее к виду
В алгебре доказывается, что всегда можно подобрать коэффициенты cik так, чтобы квадратичная форма была вида
или, иначе говоря, akl = 0 при k≠l и akk= λk. Коэффициенты λk равны ±1 или нулю соответственно. Знаки коэффициентов λk и определяют тип уравнения. Преобразованное уравнение
принимает вид
Этот вид уравнения называется его каноническим видом. Положим, что все λk отличны от нуля, т. е. что уравнение не параболического типа, и покажем, что в этом случае при помощи преобразования функции u можно освободиться от производных первого порядка. С этой целью вместо и введем новую искомую функцию v по формуле
Подставив это в основное уравнение , получим, как нетрудно проверить, уравнение вида
Для уравнения эллиптического типа все λk = l или λk = —1, и, умножая, если надо, обе части уравнения на (—1), мы можем считать, что все λk = 1. Таким образом можно утверждать, что всякое линейное уравнение эллиптического типа с постоянными коэффициентами может быть приведено к виду
В случае гиперболического типа будем считать, что имеется (n + 1) независимых переменных, и положим ξn+1=t. Тогда всякое линейное уравнение гиперболического типа с постоянными коэффициентами приводится к виду
В случае нашего уравнения с переменными коэффициентами для каждой точки (x01,…,x0n) области D можно указать такое преобразование независимых переменных, которое приводит уравнение (3) к каноническому виду в этой точке. Для каждой точки (x01,…,x0n). имеется, вообще говоря свое преобразование независимых переменных, приводящее уравнение к каноническому виду; в других точках это преобразование может не приводить уравнение к каноническому виду.