- •Элементы уравнений математической физики
- •Введение
- •1. Основные уравнения математической физики
- •1.1. Уравнение колебаний струны.
- •1.2. Решение задач о колебаниях бесконечной и полуограниченной cтруны (метод Даламбера)
- •1.3. Продольные колебания стержня
- •1.4. Колебания стержня с одним закрепленным концом
- •1.5. Продольный удар груза по стержню
- •1.6. Метод Фурье решения задачи о колебаниях конечной струны с закрепленными концами
- •1.7. Вынужденные колебания струны с закрепленными концами
- •1.8. Общая схема метода разделения переменных (метода Фурье). Задача Штурма-Лиувилля
- •1.9. Уравнение колебаний мембраны.
- •1.10. Решение задачи о радиальных колебаниях круглой мембраны
- •1.11. Решение задачи о продольные колебания стержня методом Фурье
- •1.12. Уравнение распространения тепла в изотропном твердом теле.
- •1.13. Решение задачи теплопроводности бесконечного и полуограниченного стержня
- •1.14. Задача теплопроводности в бесконечном цилиндре
- •1.15. Решение задачи теплопроводности в конечном стержне
- •1.16. Решение задачи теплопроводности в однородном шаре
- •1.17. Задачи, приводящие к уравнению Лапласа
- •1.18. Общий вид уравнения эллиптического типа
- •1.19. Фундаментальные решения. Функция Грина
- •1.20. Условия разрешимости граничных задач
- •1.21. Понятие гармонической функции.
- •1. Случай пространственной области.
- •2. Случай плоской области.
- •1.22. Решение задачи Дирихле для круга методом Фурье.
- •1.23. Решение задачи Дирихле в шаре для уравнения Лапласа ( метод Фурье)
- •1.24. Задача Дирихле для одномерного и двумерного случаев.
- •2. Классификация уравнений второго порядка
- •2. I. Типы уравнений второго порядка.
- •2.2. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •2.3. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными.
- •3. Уравнения гиперболического типа с двумя независимыми переменными
- •3.1. Задача Коши
- •3.2. Задача Гурса
- •3.3. Метод Римана
- •Задачи электротехники
- •4.1. Дифференциальные уравнения свободных электрических колебаний
- •4.2. Телеграфное уравнение
- •4.3. Интегрирование телеграфного уравнения по методу Римана
- •5. Уравнения первого порядка
- •5.I. Квазилинейные дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными
- •5.2. Нелинейные дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными.
- •5.3. Нелинейные дифференциальные уравнения с п независимыми переменными.
- •6.2. Метод сеток решения задачи Дирихле на плоскости
- •6.3. Метод сеток решения уравнения гиперболического типа
- •6.4. Метод сеток решения уравнения параболического типа на отрезке
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
1.10. Решение задачи о радиальных колебаниях круглой мембраны
Задача о свободных колебаниях однородной круглой мембраны с закрепленной границей заключается в следующем. Найти функцию u(t,x,y), удовлетворяющую в круге дифференциальному уравнению
Рис. 1.17.
начальным условиям
и граничному условию
(рис.1.17) .
В полярных координатах эта задача формулируется следующим образом. Найти функцию удовлетворяющую в круге дифференциальному уравнению
начальным условиям
и граничному условию
Рассмотрим частный случай этой задачи, когда начальные отклонения и начальные скорости не зависят от переменной . Это означает, что точки, одинаково удаленные от центра мембраны, в начальный момент времени имеют одинаковые отклонения и одинаковые скорости. В этом случае и при t>0 отклонение точек мембраны не будет зависеть от переменной . Таким образом, рассматривается следующая задача. Найти функцию удовлетворяющую в круге дифференциальному уравнению
начальным условиям
и граничному условию
Для решения этой задачи используем метод разделения переменных, примененный нами ранее для решения задачи о колебаниях конечной струны. Найдем сначала ненулевые решения нашего уравнения , удовлетворяющие только граничному условию . Эти решения будем искать в виде где
Дифференцируя функцию и подставляя результаты дифференцирования в наше уравнение, получим
или
Отсюда следует, что
(***)
Уравнение можно записать в виде
Следовательно, это уравнение является уравнением Бесселя с n=0. Поэтому на отрезке [0,R] при n=0. Сделаем в уравнении замену независимой переменной тогда В результате этой замены уравнение примет вид
Таким образом, мы пришли к следующей задаче. Найти ненулевые решения дифференциального уравнения , удовлетворяющие на отрезке [0,1] граничным условиям
Ненулевые решения , удовлетворяющие условию , существуют только при где положительные решения уравнения и эти решения имеют вид Таким образом, наша задача имеет ненулевые решения только при и эти решения имеют вид Подставляя значения в уравнение (***) и решая полученное уравнение, находим что
Таким образом, мы получили бесконечно много частных решений уравнения , удовлетворяющих граничному условию
Решение исходной задачи будем искать в виде
где , подбираются таким образом, чтобы выполнялись начальные условия . Имеем
Полагая в этих равенствах t=0, получим
Обозначим в этих формулах Тогда Отсюда следует, что
или, если в интегралах сделать замену переменной то
1.11. Решение задачи о продольные колебания стержня методом Фурье
Рассмотрим задачу о продольных колебаниях однородного упругого стержня длины l, когда один его конец х = 0 закреплен, а другой х = l свободен. Было показано, что эта задача сводится к решению волнового уравнения
,
при граничных условиях и начальных условиях
Согласно методу Фурье, частные решения уравнения будем искать в виде
u(х, t) = X(x)T(t)
Подставив u(х, t) в основное уравнение , получим откуда получаем два уравнения
Х(х) + λ2Х(х) = 0, T(t) + a2λ2T(t) = 0
Чтобы функция Х(х), отличная от тождественного нуля, удовлетворяла граничным условиям, очевидно, нужно потребовать выполнения условий Х(0) = 0, Х(l) = 0. Таким образом, мы пришли к задаче о собственных числах для уравнения
Х(х) + λ2Х(х) = 0 при граничных условиях . Интегрируя уравнение , получим
.
И имеем С1 =0, .
Считая С2≠0 (в противном случае имели бы Х(х)≡0), находим = 0, откуда (k — целое число).
Таким образом, нетривиальные решения задачи возможны лишь при значениях λk= . Собственным числам соответствуют собственные функции
Xk(x)=sin (k=0,1,2,…),
определенные с точностью до постоянного множителя, который мы положили равным единице (отрицательные целые значения k новых собственных функций не дадут). При λ = λk общее решение основного уравнения имеет вид
,
где аk и bk — произвольные постоянные.
Найдем
Составим ряд
Для выполнения начальных условий необходимо, чтобы
Предполагая, что ряды сходятся равномерно, можно определить коэффициенты ak и bk, умножив обе части равенств рядов на и проинтегрировав по x в пределах
от х = 0 до х = l Тогда, приняв во внимание, что
получим:
, .
С помощью метода Фурье легко можно исследовать задачу о продольных колебаниях стержня. Напомним, что поставленная там задача приводится к решению основного уравнения при граничных и начальных условиях
rx, , где r— постоянная.
Применяя формулы, полученные выше, найдем, что
, bk=0 откуда вытекает, что относительное перемещение сечения стержня с абсциссой х выражается рядом
.
Пример 1. Решить неоднородное уравнение гиперболического типа
при однородных краевых условиях
и нулевых начальных условиях
Задача описывает вынужденные колебания однородной
струны, закрепленной на концах, под действием внешней возмущающей силы . Применяя метод Фурье разделения переменных, полагаем м для решения соответствующего однородного уравнения при начальных условиях. Подставив это уравнение, получаем равенство
Возможное лишь в случае, если обе части его не зависят ни от x, ни от t, т.е. представляет собой одну и ту же постоянную. Обозначим эту постоянную через с: Используем краевые условия:
Таким образом, приходим к задаче Штурма-Лиувилля: найти такие значения параметра с, при которых существуют нетривиальные (т.е. отмеченные от тождественного нуля) решения уравнения, удовлетворяющие краевым условиям
При в общем решение уравнения, согласно краевым условиям, с1=0, с2=0 и решение задачи (*) становятся – случаи не интересны. При с>0, с=-λ2: общее решение вида: X(x)=c1 cosλx + c2 sinλx, X(x)=-c1 λsinλx+c2λcosλx. X(0)=c11+c20=c1=0, X’(l)=c2λcosλl=0, считаем. Поэтому cosλl=0. Находим ее собственные значения и соответствующие им собственные функции Xk(x)=iπλkx, k=0,1,2,…,определяемые с точностью до постоянного множителя, который мы полагаем равным единице.
Следовательно, лишь при с=-λ2к, к=0,1,2,…, имеем нетривиальные решения задачи (*). Теперь решение задачи ищем в виде Фурье
, где ,
Подставляя в основное уравнение , получаем
Для нахождения функций разложим функцию 1 в ряд Фурье по синусам на интервале(0,1):
, Так как то получаем уравнение
Общее решение которого, имеет вид
Значения неопределенных коэффициентов: А= , В=0, .
Окончательно: