33 Дати означеня щільностей ймовірностей двв. Основні властивості, імовірнісний зміст.

2-хвимірною щільністю ймовірностей f(х,у) двв (Х,У) називаєть другу мішану частинну похідну від інтегральної ф-ції розподілу:

Якщо відома щільність імовірностей f(х,у) двв, то її ф-цію розподілу знаходять за ф-лою:

Імовірність влучення випадквої точки (Х,У) в довільну облась D знаходять: P((X,Y,)єD)=

34 Записати ф-ли для обчислення ймовірностей попадання випадкової точки в довільну двомірну область d; в прямокутник.

Імовірність влучення випадквої точки (Х,У) в довільну облась D знаходять: P((X,Y,)єD)=∫∫df(х,у)dxdy Р- ймовірність влучення точки; f(х,у)- щільність розподілу

Імовірність влучення випадкової точки до прямокутника { x1 ≤Х ≤х2; у1 ≤У≤ у2}можна знайти за формулою: Р(x1 <Х <х2; у1 <У< у2)= {F(х2,у2)- F(х1,у2)}- {F(х2,у1)- F(х1,у1)} х,у – координати точки в просторі F(х,у)-ф-ція розподілу.

35 Означення залежності (незалежності) випадкових величин, що входять в с-му вв. Теореми про необхідну та достатню умови незалежності.

Дві випадкові величини наз. незалежними, якщо закон розподілу кожної з них не залежить від того, які ймовірні значення прийняла інша величина. Отже, умовні розподіли незалажних величин дорівнюють їхнім умовним розподілам. Теорема: для того щоб випадкові величини X і Y були незалежними, необхідно і достатньо, щоб функція розподілу системи (X, Y) дорівнювала добутку функцій розподілу складових : Необхідно: F (x, y) = F1(x) F2(y). Достотньо : нехай F(x, y) = F1(x) F2(y). Звідси P(X<x, Y<y) = P(X < x) P (Y<y). Звідси для того щоб неперервні випадкові величини X і Y були незалежними, необхідно і достатньо, щоб щільність спільного розподілу системи (X, Y) дорівнювала добутку щільностей розподілу складових : f (x,y) = f1(x)f2 (y). Достатньо F (x, y) = F1(x) F2(y).

37 Ф-ли для знаходження ф-ції розподілу та щільності ймовірностей складних с-м ВВ.

Функцією розподілу ймовірностей С.В.В. наз. така функція двох змінних F (x, y) , що її значення в кожній в.в. точці дорівнює F (x, y) = P(X<x; Y<y) Функція щільності розподілу наз. другу змішану похідну від функцію розподілу: f (x, y) = 2 F (x, y)/ x y.

38 Дати означення основних числових характеристик в.в.: а) математичного сподівання; б) дисперсії; в) початкового та центрального моментів; г) асиметрії; д) ексцесу; е) моди; ж) медіани. Записати формулу для їх обчислення для д.в.в. та н.в.в. а) Мат., сподівання:1) д.в.в. M[X] = m_x=∑x_ip_i; 2)н.в.в. M[X]= ; г) Асиметрія m₃ - центральний епмпіричний момент третього порядка. Використовується для оцінки відхилення емпіричного розподілу від нормального . д) Ексцесс m₄- центральний емпіричний момент четвертого порядку. е) Мода-М₀ наз., варіанту ,яка має найбільшу частоту ж) Медіаной М_е- наз., варіанту ,яка ділить варіаційний ряд на дві частини , рівні по числу варіант .

39. Навести основні властивості кореляційного моменту μxy та коефіцієнту кореляції rxy

Корреляционный момент млужит для х-ки связи между величинами X и Y. КМ равен нулю, если X и Y независимы; следовательно, если КМ не равен нулю, то X и Y – зависимые случайные величины. Величина коэф. корреляции не зависит от выбора единицы измерения случайных величин. В этом состоит преимущество коэф. корреляции перед корреляционным моментом. КК независимых сл. величин равен нулю (так как μxy = 0). Абсолютная величина кор. момента двух случайных величин X, Y не превышает среднего геометрического их дисперсий: Абсолютная величина коэф. кореляции не превышает единицы.

Властивості кор.моменту μ xy: 1) Кор.момент 2 незалежних в.в. Х та Y=0;І навпаки, якщо кор.момент не равен 0, то Х та Y – залежні в.в.