40. Дати означення корельованості (некорельованості) двох в.В. Пояснити різнцю і зв’язок між корельованістю (некорельованістю) і залежністю двох в.В.

Две случайные величины X и Y называют коррелированными, если их корреляционный момент (или, что то же, коэффициент корреляцыии) отличен от нуля; X и Y называют некоррелированными величинами, если их корреляционный момент равен нулю. Две коррелированные величины также и зависимы. Действительно, допустив противное, мы должны заключить, что μxy = 0, а это противоречит условию, так как для коррелированных величин μxy не равняется 0. Обратное предположение не всегда имеет место, т.е. если две величины зависимы, то они могут быть как коррелированными, так и некоррелированными. Другими словами, корреляционный момент двух зависимых величин может быть не равен нулю, но может и равнятся нулю. Для нормально распределенных составляющих двумерной случайной величины понятия независимости и некоррелированности равносильны.

Зв’язок між корел-тю(некорел-тю) та залежністю: якщо Х, Y некорельовані μ xy=0, то залежність невідома. якщо Х, Y корельовані , то вони залежні якщо X, Y незалежні , то вони некорельовані X, Y =0 якщо X, Y залежні, то вони можуть бути як корельованими так і некорельованими μ xy – індикатор залежності і незалежності X, Y Різниця: із незалежності 2 величин слідує їх некорельованість , але із некорельваності неможна зробити висновок о незалежності цих величин

41 Вивести рівняння лінійної середньоквадратичної регресії y на х(х на y). Пояснити зміст позначень.Дати означення коефіцієнту регресії , залишкової дисперсії та пояснити, що вони характеризують.

Лінійна середньоквадратична регресія Y на Х має вигляд g(X)=my+ (X – mx), де mx=М(Х), my=М(Y), σx= , σy= , r=μxy/( σxσy) – коефіцієнт кореляції величин Х та Y.

Виведення: Введем у розгляд функцію двох незалежних аргументів та :

F( , )=M[Y - - X]2 . (*) Враховуючи, що М(Х – mx)=M(Y – my)=0,

M[(X - mx)*(Y - my)]= μxy=r σxσy та виконав викладки, отримаємо

F( , )= + - 2r σxσy +( my - - mx)2

Дослідим функцію F( , ) на екстремум, для чого прирівняєм 0 часткові похідні :

, σxσy=0

Звідси , mx

42. Сформулювати теорему про корельованість складових нормально розподіленої двовимірної в.В.

а) Мат. сподівання двохвимірної випадкової величини (X, Y) характеризує координати центру розподілу випадкової величини. Ці координати знаходять за формулами:

Дисперсії DX та DY характеризують розсіювання випадкової точки (X, Y) вздовж координатних осей Ox та Oy, відповідно. Їх знаходять за формулами:

43. Дати означення функції випадкової величи. Записати формулу для находження щільності імовірностей фун-ції неперервного випадкового аргумента. Навести приклади побудови розподілу фун-ції д.в.в. та щільності імовірностей фун-ції н.в.в.

Н.В.В. Пусть х-действительное число. Вер-ть события, что Х примет значение, меньше х (Х <х), обозначим F(x)-фун-цией от х. Фун-цией распределения наз-ют фун-цию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньше х, т.е. F(x)=P(X<x). Геометр.смысл: F(x)-вер-ть того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

Законом распределения дискр.случ.вел.есть соответствие между возможными значениями и их вероятностями. Задается таблично, аналитически, графически.

Пример распределения фун-ции Д.В.В:

В лотерее 100 билетов. Разыгрывают 1выигрыш в 50руб. и 10 выигр. По 1 руб. Найти

Закон.распр.случ.величины Х-стоимости выигрыша для владельца одного билета.

Решение: X: x =50, x =1, x =0. p =0,01 =0,01 =1( =0,89. Закон распределения Х(50,10,0), р(0,01;0,1;0,89).

44. Мат. сподівання ДВВ Х наз. число, яке = сумі добутків усіх можливих значень Х на відповідні їм імовірності.

М(Х)= для ДВВ М(Х)= для НВВ

Дисперсією ДВВ Х наз. число, яке = мат. сподіванню квадрата відхилення ДВВ Х від її мат. сподівання.

D(X) = M(( X- M(X)) ) для ДВВ D(X) =

45. Пояснити, як будуються випадеові величини, що мають розподіл: а) Пірсона; б) Стьюдента; в) Фішера. Записати вирази для функції щільності розподілу імовірностей цих розподілів ті їх основних числових характеристик. Пояснити зміст позначень.

Нехай, Хі(=1,2,…n)- нормальні незалежні випадкові величини, а математичне сподівання кожної з них = 0, а середнє квадратичне відхилення – 1. ………тоді сума квадратів цих величин

Розподілена по закону (хі квадрат) з k=n степенями вільності, якщо ж ці величини повяязані з одним лінійним відношенням , наприклад , то число степенів вільності k=n-1

Щільність цього розподілу

Звідси видно, що розподіл «хі квадрат» визначається одним параметром – числом степенів вільності k

46. Сформувати предмет математичної статистики

Предмет МС є розробка методів, збору і обробки інформації, аналізу результатів обробки з метою одержання науково-обгрунтованих висновків і вироблення практичних рекомендацій.

Основні задачі: розробка методів збору статистичних даних та їх групування оцінка невідомих параметрів сукупності за даними вибору розробка методів виявлення наявності , виду, щильності, взаємозв’язків між ознаками перевірка статистичних гіпотез