21. Дати означення закону та багатокутника розподілу ймовірностей д.В.В. Навести приклади.

Законом розподілу дискретної випадкової величини називають таке співвідношення, яке встановлює зв’язок між можливими значеннями випадкової величини і відповідними їм ймовірностями; його можна задати таблично, аналітично (у вигляді формули) .

Для наочності закон розподілу дискретної випадкової величини можна зобразити і графічно, для чого в прямокутній системі координат будують точки (хі, рі), а потім з’єднують їх відрізками прямих. Отриману фігуру називають багатокутником розподілу.

Задати закон розподілу д.в.в. — це задати рівність рk=Р(Х=хk), яку можна розглядати як функцію. Функція розподілу для дискретної випадкової величини має вигляд

Наприклад, умовами лотереї передбачено: 1 виграш—100 грн., 2—50 грн., 8—10 грн., 19—1 грн. Знайти закон розподілу суми виграшу власником одного лотерейного білету, якщо продано 1000 білетів. Будемо шукати закон розподілу у вигляді ряду розподілу. Поєднавши ці точки прямими, одержимо графік у вигляді многокутника розподілу випадкової дискретної величини.

22. Дати означення інтегральної та диференціальної функції розподілу н.В.В. Вказати їх основні властивості. Навести приклади.

Інтегральною функцією розподілу називають імовірність того, що випадкова величина Х прийме значення, менше х. Функцію розподілу позначають F(x). Таким чином,

Якщо НВВ Х може приймати будь-яке значення з (a,b), то , тобто імовірність прийняття величиною Х значень з (a,b) дорівнює приросту функції розподілу. Властивості інтегральної функції:

1)

2) — зростаюча функція, тобто , якщо ;

3)

Диференціальною функцією розподілу або щільністю ймовірностей неперервної випадкової величини називають похідну першого порядку від її інтегральної функції розподілу і позначають . Властивості диференціальної функції:

1) , тому, що вона є похідною зростаючої функції ;

2) тому, що є похідною ;

3) тому, що подія — достовірна.

23 Дати означення основних числових характеристик в.в.: а) математичного сподівання; б) дисперсії; в) початкового та центрального моментів; г) асиметрії; д) ексцесу; е) моди; ж) медіани. Записати формулу для їх обчислення для д.в.в. та н.в.в.. Пояснити зміст букв, навести приклади.

Математичним сподівання Х називають число, яке дорівнює сумі добутків можливих значень Х на відповідні їм імовірності. М(Х) або mX —математичне сподівання ДВВ.

Якщо Х приймає нескінченну кількість значень, то . Математичне сподівання для НВВ обчислюється за формулою

Де ;

—певне значення Х; — імовірність того, що Х приймає значення

Дисперсія Х — це число, яке дорівнює математичному сподіванню квадрата відхилення в.в. від її математичного сподівання. — дисперсія величини Х.

Обчислення дисперсії для ДВВ:

Обчислення дисперсії для НВВ:

Початковим моментом порядку k в.в. Х називають математичне сподівання величини Хk і позначають , k=1,2,…,n.

Центральним моментом порядку k в.в. Х називають математичне сподівання величини і позначають k=1,2,…,n.

Асиметрією або коефіцієнтом асиметрії називається величина

— центральний момент 3-го порядку — середнє квадратичне відхилення

Якщо AS=0 (AS ), то розподіл симетричний (асиметричний);

Якщо AS>0 (AS<0), то асиметрія правостороння (лівостороння).

Ексцес в.в. характеризує плоско- чи гостроверхість розподілу, порівняно з нормативним розподілом з тим же значенням дисперсії.

Якщо ЕХ>0 (ЕХ<0), то розподіл гостроверхий (плосеоверхий).

При графічному способі зображення закону розподілу в.в., значення в.в. імовірність якого найбільша, називають модою (М0). Медіана (Ме)— це середина відрізку між математичним сподіванням та модою.