- •1.Що є предметом теорії імовірності?
- •2.Дати означення підмножини скінченної (нескінченної), зліченої і незліченої. Навести приклад.
- •3. Дати означення об’єднаня суми, різниці та добутку множин. Навести приклади.
- •4.Дати означення сполучення та розміщення. Записати формулу для обчислення числа ціх сполук. Навести приклади
- •5. Записати формулу, що пов’язує число переставлень, сполучень та розміщень. Сформулювати правила суми та добутку. Навести приклади.
- •7. Дати означення сумісних, несумісних та попарно несумісних подій. Навести приклади.
- •8. Дати означення суми (об’єднання), різниці та добутку (перетину) подій, протилежної події, повної групи подій. Навести приклади.
- •9. Як випадкова подія виражається через елементарні наслідки випадкового експерименту? Які елементарні наслідки називаються такими, що сприяють появі даної події? Навести приклади.
- •10. Сформулювати класичне визначення імовірності події і записати відповідну формулу. Навести приклади.
- •11.(Геометричне визначення).
- •12. Дати означення частоти та відносної частоти події.
- •13. Сформулювати теореми: а) про імовірність суми двох подій; б) про імовірність суми двох несумісних подій; в) про імовірність суми декількох попарно несумісних подій. Навести приклади.
- •14. Дати означення незалежності і залежності двох подій, умовної імовірності події, попарної незалежності декількох подій, незалежності у сукупності декількох подій. Навести приклади.
- •15. Записати формулу для обчислення імовірності хочаб однієї з декількох подій, незалежних у сукуупності.Пояснити букви, навести приклади.
- •16. Записати формули: а) повної імовірності; б) Байеса. Пояснити зміст позначень. Навести приклади.
- •17. Навести умови схеми випробувань Бернулі. Записати формулу Бернулі.Навести приклади застосування.
- •18. Граничні теореми у схемі випробувань Бернулі. А)Пуассона. Б) Локальну та інтегральну Лапласа.
- •19.Записати формули для обчислення в схемі бернулі: а)імовірності відхилення частоти від імовірності б)найбільш імовірного числа появи подій
- •20. Дати означення випадкової величини (в.В.), дискретної (д.В.В.) та неперервної випадкої величини (н.В.В.). Навести приклади.
- •21. Дати означення закону та багатокутника розподілу ймовірностей д.В.В. Навести приклади.
- •22. Дати означення інтегральної та диференціальної функції розподілу н.В.В. Вказати їх основні властивості. Навести приклади.
- •24. Пояснити, що характеризують: а) математичне сподівання; б) дисперсія та середнє квадратичне відхилення; в) асиметрія; г) ексцес; д) мода; е) медіана.
- •25. Довести основні властивості математичного сподівання і дисперсії.
- •26. Записати основні закони розподілу д.В.В.: а) біноміальний ; б)Пуассона; в)геометричний. Пояснити зміст букв. Навести приклади д.В.В., розподілених за цими законами.
- •27. Записати основні закони розподілу н.В.В.: а) рівномірний; б) нормальний; в) показниковий. Пояснити зміст букв. Навести приклади н.В.В., розподілених за цими законами.
- •28. Пояснити зміст терміну «закон великих чисел». Довести нерівність Чебишова в усіх формах. Навести приклади її застосування.
- •29 Сформулювати основні теореми закону великих чисел: а) Бернуллі; б) Чебишова; Пояснити значення цих теорем для практики.
- •30. Сформулювати центральну граничну теорему у формі Леві-Ліндеберга в усіх видах. Довести інтегральну теорему Мавра-Лапласа як окремий випадок попередньої теореми.
- •31.Дати означення системі випадкових величин. Навести приклади. Дати означення закону розподілу дискретної двовимірної випадкової величини. Навести приклади.
- •32 Дати означення ф-ціїї розподілу двв. Основні властивості ф-ції розподілу, її геометричний зміст.
- •33 Дати означеня щільностей ймовірностей двв. Основні властивості, імовірнісний зміст.
- •34 Записати ф-ли для обчислення ймовірностей попадання випадкової точки в довільну двомірну область d; в прямокутник.
- •35 Означення залежності (незалежності) випадкових величин, що входять в с-му вв. Теореми про необхідну та достатню умови незалежності.
- •39. Навести основні властивості кореляційного моменту μxy та коефіцієнту кореляції rxy
- •40. Дати означення корельованості (некорельованості) двох в.В. Пояснити різнцю і зв’язок між корельованістю (некорельованістю) і залежністю двох в.В.
- •41 Вивести рівняння лінійної середньоквадратичної регресії y на х(х на y). Пояснити зміст позначень.Дати означення коефіцієнту регресії , залишкової дисперсії та пояснити, що вони характеризують.
- •42. Сформулювати теорему про корельованість складових нормально розподіленої двовимірної в.В.
- •47 Дати означення а) генеральної та вибіркової сукупності б) обсягу вибірки в) повторної, безповоротної та репрезентативної вибірок
- •48 Дати означення естатистичної (емпіричної) функції розподілу та сформулювати її основні властивості
- •49 Дати означення кумулятивних частоти та відносної частоти
- •50 Дати означення полігону та гістограми
- •51 Дати означення точкової статистичної оцінки параметру розподілу генеральної сукупності
- •54 Дати означення вибіркових: а)моди і медіани; б) початкового та центрального моментів; в) коефіцієнтів асиметрії та ексцесу. Навести приклади знаходження (обчислення).
- •55 Дати означення: а) інтервальної оцінки параметра генеральної сукупності, її точності та надійності; б) надійного інтервалу. Навести приклади.
- •58 Записати формулу для обчислення кінців надійного інтервалу для оцінки середнього квадратичного відхилення нормальної розділеної генеральної сукупності
- •59 Дати означення емпіричної та теоретичної частот
- •60Дати озн функціональної, стохастичної, кореляційної залежності, умовного середнього, вибіркових рівняння та лінії регресії.
- •62 Записати формулу для обч вибіркової кореляції кінців надійного інтервалу для інтерн. Оцінки коеф кореляції нормально розподіленої ген сукупності
- •63 Дати означення статистичної гіпотези, нульової та альтернативної гіпотез
- •64 Дати означення рівня значущості та потужності статистичного критерію
- •65 Дати означення рівня значушості та потужності статистичного критерію
- •66 Навести приклади перевірки гіпотез про: рівність генеральних дисперсій двох нормально розподілених генеральних сукупностей
7. Дати означення сумісних, несумісних та попарно несумісних подій. Навести приклади.
Дві події називаються несумісними – якщо їх перетин є неможливою подією. А∩В=V. Дві події називаються сумісними, якщо їх перетин не є неможливою подією. А∩В≠V. Події А1, А2, ..., Аn називаються попарно несумісними, і їх обєднання є достовірна подія А1UA2U…UAn=Vто такі події утворюють повну групу подій. Якщо повну групу утворюють дві події то вони називаються протилежними.Події називаються рівно можливими якщо немає підстав вважати що поява будь якої з них більш можлива за появу інших в даному експеременті. Єлементарним наслідком випадковим експериментом наз така подія яка не може бути сумою інших наслідків цього ж експерименту. Приклад: несумісні - В результаті одного підкидання монети не може результатом бути і герб і цифра
8. Дати означення суми (об’єднання), різниці та добутку (перетину) подій, протилежної події, повної групи подій. Навести приклади.
Сумою (об’єднання) подій А1, А2, ..., Аn називається така подія В, яка полягає в тому, що настане хоча б одна з подій А1, А2, ..., Аn. В=А1UA2U…UAn. Добутком (перетином) подій А1, А2, ..., Аn називається така подія С, яка полягає в тому, що настане подія А1 і А2 і Аn. С=А1∩ А2∩ ... ∩ Аn. Повна група подій – утворюється, якщо події А1, А2, ..., Аn попарно несумісні і їх об’єднання є достовірна подія. (А1UA2U…UAn=U). Якщо повну групу подій утворюють дві події, то вони називаються протилежними (А, А'). Приклади: Повна група подій – результатом підкидання двох монет.
9. Як випадкова подія виражається через елементарні наслідки випадкового експерименту? Які елементарні наслідки називаються такими, що сприяють появі даної події? Навести приклади.
Випадкова подія є результат експерименту, поява якого заздалегідь не відома, але належить певній множині елементарних наслідків. Елементарний наслідок, імовірність якого є найбільш наближене до 1 ніж інших елементарних наслідків, сприяє появі даної події. Приклад: 1. Елементарним наслідком при киданні грального кубика є поява однієї з шести цифр. 2. Поява цифр кратних двом, є більш імовірною, ніж поява цифр кратних трьом. (1/2;1/3 відповідно).
10. Сформулювати класичне визначення імовірності події і записати відповідну формулу. Навести приклади.
Імовірність появи події А називають співвідношення числа сприятливих наслідків (m) до числа всіх можливих наслідків (n). Р(А)=m/n. Подія наз. випадковою, якщо в результаті випробування вона може відбутися або не відбутися. Імовірність події є численна міра степеня об’єктивної можливості цієї події. (Класичне) Імовірність події А дорівнює відношенню числа елементарних наслідків, які сприяють появі події А, до загального числа усіх єдиноможливих та рівноможливих елементарних наслідків. де m- число елементарних наслідків, що сприяють події А, n- число усіх єдиноможливих та рівноможливих наслідків. Зауваження: 1.класичне означення імовірності має місце лише тоді, коли m та n скінчені, усі елементарні наслідки рівноможливі. Якщо множина елементарних наслідків нескінчена, то цією формулою користуватися не можна.2. Вимога рівноможливості всіх елементарних наслідків експерименту.