Свойства определителей

. Значение определителя не меняется при транспонировании матрицы (замен всех его строк соответствующими столбцами).

(22)

Замечание. Свойство устанавливает равноправность строк и столбцов определителя.

Поэтому все дальнейшие свойства определителя будем формулировать и для строк, и для столбцов, а доказывать только для строк или только для столбцов.

. При перестановке двух строк значение определителя меняет знак, сохраняясь по абсолютной величине.

. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

. Общий множитель всех элементов какой-либо строки можно вынести за знак определителя (т.е. при умножении определителя на число, все элементы какой-либо одной строки умножаются на это число).

. Определитель с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.

. Определитель, имеющий нулевую строку (столбец), равен нулю.

. Если два определителя одного порядка отличаются только элементами одной строки, то сумма таких определителей равна определителю с элементами указанной строки, равными суммам соответствующих элементов этой строки данных определителей.

. Значение определителя не изменяется, если к элементам какой-либо строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

3. Обратная матрица. Ранг матрицы

Определение 3.1.

Квадратная матрица называется обратной по отношению к матрице , если выполняется равенство

,

где – единичная матрица.

Определение 3.2.

Квадратная матрица называется невырожденной, или неособенной, если . Если , то матрица называется вырожденной (особенной).

Теорема 3.1.

Всякая невырожденная матрица имеет обратную матрицу, определяемую формулой

(23)

Определение 3.3.

Определитель с элементами, стоящими на пересечении произвольных строк, и столбцов матрицы, называется минором -го порядка этой матрицы.

Замечание. Не путать с минором элемента!

Определение 3.4.

Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы называется рангом матрицы.

Обозначение: .

Определение 3.5.

Каждый отличный от нуля минор, порядок которого совпадает с рангом матрицы, называется базисным минором.

Правило вычисления ранга матрицы

(метод «окаймляющих миноров»)

При вычислении ранга матрицы следует переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков. Если уже найден минор k-го порядка D, отличный от нуля, то требуют вычисления лишь миноры (k+1)-го порядка, окаймляющие минор D: если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k.

.

Определение 3.6.

Элементарными преобразованиями называются следующие преобразования:

1. Отбрасывание нулевой строки (столбца).

2. Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю.

3. Изменение порядка строк матрицы.

4. Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.

5. Транспонирование матрицы.

Замечание. Как правило, получается эквивалентная матрица, не равная данной.

.

Определение 3.7.

Матрица, у которой в каждой следующей строке, начиная со второй, первый отличный от нуля элемент стоит правее первого отличного от нуля элемента предыдущей строки, а все нулевые строки (состоящие только из нулей) стоят ниже ненулевых строк (строк, содержащих хотя бы один ненулевой элемент), называется ступенчатой.

Например: .

Пример 4.1.

Определить ранг матрицы

.

Решение.

Базисным минором, к примеру, является минор:

Теорема 3.2.

Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы.

Теорема 3.3. (о ступенчатой матрице).

1). Каждая матрица элементарными преобразованиями строк приводится к ступенчатой матрице.

2). Ранг ступенчатой матрицы равен числу ненулевых строк.

Пример 4.2.

Определить ранг матрицы

приведением ее к ступенчатому виду.

Решение.

.