2. Определители. Вычисление определителей

Рассмотрим в общем виде систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными

(10)

Допустим, что система имеет решение и пара составляет решение, так что оба уравнения уже обратились в верные равенства. Решая систему уравнений, получим решение вида

, (11)

Если , то наши рассуждения не приводят ни к какому результату, и поэтому будем полагать что . Для выражения существует специальное название определитель матрицы и специальное обозначение:

, (12)

где .

Пример 2.1. Рассмотрим A = .

.

Для определителей формулы (11) записываются в виде:

, (13)

Рассмотрим систему уравнений с тремя переменными и тремя неизвестными

(14)

Запишем его в матричном виде:

(15)

Решая данную систему уравнений и вводя обозначение:

(16)

можно показать, что решение системы

, ,

Итак, мы показали, что формулы для решения в общем виде линейных систем уравнений при и имеют сходную структуру и основную роль в них играют определители второго порядка

и третьего порядка

Оба эти выражения представляют собой алгебраические суммы произведений элементов матриц, причём эти произведения составляются по одному элементу из каждой строки и по одному из каждого столбца. Все такие произведения входят в состав определителя. Произведения снабжаются знаками плюс или минус по определённому правилу.

С каждой квадратной матрицей свяжем определенную численную характеристику, называемую определителем, соответствующим этой матрице.

Обозначение:

.

Определение 2.1.

Определителем матрицы первого порядка, называется сам элемент :

.

Определение 2.2.

Определителем матрицы второго порядка, называется число

.

Определение 2.3.

Определителем матрицы третьего порядка, называется число

Последнее равенство вычисляется по правилу Саррюса (часто его называют правилом треугольника):

а (+) б (–)

Пример 2.2.

Вычислить определитель .

Решение.

Определитель третьего порядка может быть преобразован следующим образом:

Пример 2.3.

Вычислить определитель .

Решение.

Определение 2.4.

Определителем (детерминантом) n-го порядка называется число D, равное алгебраической сумме n! слагаемых, каждое из которых есть произведение n множителей a_ij, являющихся элементами ровно одной строки и ровно одного столбца. Обозначение:

(17)

Определение 2.5.

Минором элемента квадратной матрицы -го порядка называется определитель матрицы ( )-го порядка, остающийся после вычеркивания -й строки и -го столбца данной матрицы -го порядка (то есть строки и столбца на пересечении которых стоит элемент ).

Обозначение: .

Пример 2.4. Вычислите определитель

Решение.

2^ая строка +1^ая, умноженная на 2;

3^я строка +1^ая, умноженная на -3, 4^ая строка +1^я, умноженная на 1 =

= разложим по элементам I-го столбца:

Определение 2.6.

Алгебраическим дополнением элемента . называется его минор, взятый со знаком , где – сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент

. (18)

Пусть задана матрица A размером 4х4:

,тогда  , .

Заметим, что , если - четное число,

, если - нечетное.

Теорема 2.1 (Лапласа).

Определитель матрицы -го порядка равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения

. (19)

– разложение по -й строке.

(20)

(разложение по элементам i-ой строки; i=1..n);

(21)

(разложение по элементам j-ого столбца; j=1..n);