Действия над матрицами

1. Сложение матриц

Суммой двух матриц и одинакового размера называется матрица , элементы которой для (т.е. матрицы складываются поэлементно).

(4)

Пример 1.4.

Сложить матрицы и .

Решение.

Пример 1.5. Сложить матрицы и , где

.

Решение.

Свойства операции сложения

1. – сочетательное свойство сложения матриц (ассоциативность);

2. – переместительное свойство сложения матриц (коммутативность);

3. , где - нуль матрица.

4. , где - нуль матрица.

5. – распределительное свойство умножения матрицы на число относительно суммы чисел (дистрибутивность);

6. – дистрибутивность умножения матрицы на число относительно суммы матриц;

Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции: .

Пример 1.6. Найти разность матриц

Решение.

или

=

2. Умножение матрицы на число

Произведением матрицы на число называется матрица , элементы которой для .

Матрицу умножаем на число, это значит, каждый элемент матрицы умножаем на данное число.

(5)

Пример 1.7.

Умножить матрицу на число 5.

Решение.

Пример 1.8.

Общий множитель также можно выносить за скобку

или .

3. Умножение матриц

1) Умножение матрицы-строки на матрицу-столбец

(6)

Пример 1.9.

Умножить матрицу на матрицу .

Решение.

2) Умножение матриц

Умножение матрицы на матрицу определено, когда число столбцов первой матрицы равен числу строк второй матрицы. Тогда произведение матриц , каждый элемент матрицы равен сумме, произведений элементов -ой строки матрицы на соответствующие элементы -го столбца матрицы : для .

(7)

Пусть - заданная матрица, -неизвестная матрица (вектор-столбец), -матрица свободных членов (вектор-столбец).

Тогда, матричная запись является системой уравнений, и имеет вид:

Условие, когда произведение матриц определено, а также размеры произведения двух матриц удобно изобразить при помощи схематического рисунка:

Если справедливо равенство , то такие матрицы называются коммутирующими.

Пример 1.10. Например, матрицы и

коммутирующие. Действительно:

и ,

т.е. справедливо равенство .

Пример 1.11.

Умножить матрицу на матрицу .

Решение.

Пример 1.12. Умножить матрицы и , где

Решение.

3) Умножение матрицы-столбца на матрицу-строку

(8)

Пример 1.13.

Умножить матрицу на матрицу .

Решение.

Свойства операции умножения

1. – сочетательное свойство умножения матриц (ассоциативность);

2. ;

3. ;

4. ;

5. , - единичная матрица;

6.

7.

8. – наличие обратного элемента.

4. Возведение в степень

Целой положительной степенью квадратной матрицы называется произведение матриц, равных , т.е.

. (9)

5. Транспонирование матриц

Матрица при транспонировании, переходит в матрицу , в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Например

,

Свойства транспонирования матриц:

1.

2.

3.

4.