9. Экспериментально-статистический подход к оценке качества объёмных кристаллов и структур

При массовых производственных измерениях параметров полупроводниковых материалов и структур следует учитывать, что последние представляют собой сплошную физически неоднородную среду. Поэтому дискретизация результатов этих измерений и статистический подход к их обработке должны быть достаточно обоснованы и аргументированы.

Примем во внимание, что в результате единичного измерения какого-либо физического параметра х в какой-либо точке неоднородной среды обязательно будет содержать некоторую неопределённость, обязанную своим происхождением следующих причин:

• случайной составляющей погрешности измерений;

• невоспроизводимости повторных измерений абсолютно в той же точке.

Роль первого из указанных факторов достаточно хорошо изучена поэтому более подробно остановимся на анализе объёмной неоднородности.

Причины возникновения объёмной неоднородности могут носить как обусловленный, закономерный, так и случайный характер.

Например, если говорить об объёмной примесной неоднородности в монокристалле полупроводников, то к детерминированным причинам её возникновения можно отнести: осевую и радиальную сегрегацию примесей, кривизну фронта кристаллизации, влияние вращения слитка и тигля, выход плоской грани (III) на фронт кристаллизации и др. Эти детерминированные причины действуют на фоне случайных, флуктационных факторов, к числу которых можно отнести колебания скоростных и температурных режимов роста, механические вибрации, присутствие неконтролируемых примесей и проч.

Совокупные действия детерминированных и случайных факторов формирует весьма сложную по характеру объёмную неоднородность.

Если роль случайных факторов несущественна, то распределение параметра х по объёму вещества можно представить как некую аналитическую функцию трёх цилиндрических пространственных координат:

х=F(r,,l) (4.11)

, где r – радиальная,  - угловая и l – осевая координаты.

При известной функции распределения среднее значение искомого параметра х определяется в виде интеграла:

(4.12)

где V – объём исследуемого материала, по которому проводится усреднение.

Однако, в большинстве случаев аналитическое описание функции распределения не представляется возможным в виду присутствия в ней значительного случайного фона.

Поэтому функция распределения строится статистически на основании экспериментального изучения распределения контролируемой величины х.

В основу такого подхода положена абстрагированная модель, сущность которой состоит в следующем:

• исследуемый объём V условно разбивается на ряд кубиков объёмом Z³, где Z – локальность (разрешающая способность) измерений;

• кубики нумеруются в соответствии с таблицей случайных величин (1, 2,… i,… n);

• значение величины х определяется в каждом элементарном кубике (x₁, x₂,… x_i,… x_n);

• при измерении x_i совершается ошибка  _i (погрешность единичного измерения).

Величина n определяется как максимальное возможное число измерений:

(4.13)

Нет смысла брать точки, лежащие друг от друга на расстоянии, меньшем локальности измерений Z, так как это не повышает уровня информации. Только в случае, когда ребро кубика больше или равно Z, каждое из n измерений может считаться независимым.

При вышеуказанных условиях статистических аналог среднего значения искомого параметра х в формуле 4.12 может быть выражен следующим образом:

(4.15)

где  - среднеквадратическое отклонение.

Статистические оценки будут тем значимей, чем больше сделано параллельных определений  _i. В свою очередь, чем больше  _i, тем больше следует сделать определений, не забывая, впрочем, что n>V/Z³ лишено физического смысла. При заданных значениях n и  _I может быть определена доверительная вероятность измерений Р.

Стремясь к большей достоверности и воспроизводимости измерений, следует увеличивать объём пробы, т.е. ухудшать локальность и разрешающую способность. Попытки улучшить локальность обязательно сопряжены с уменьшением габаритов измерительной системы (датчика), что автоматически влечёт за собой необходимость соответствующего повышения точности измерений. Кроме того, с уменьшением Z теряется экспрессность (производительность) измерений, так как возрастает n.

Эту взаимную противоречивость основных метрологических характеристик всегда следует учитывать при разработке и постановке тех или иных методов контроля параметров полупроводниковых материалов.