- •1.2. Классификация событий
- •Примерами достоверных событий являются: появление белого шара из урны, в которой находятся только белые шары; выигрыш в беспроигрышной лотерее.
- •Если событие влечет за собой событие , то это обозначают символами
- •1.3. Определения вероятности
- •1.3.1. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности
- •Свойства вероятности
- •1.3.2. Геометрическое определение вероятности
- •1.3.3. Статистическое определение вероятности
- •1.4. Действия над событиями
- •1.5. Вопросы и задания для самопроверки
1.4. Действия над событиями
Определение. Суммой двух событий и называется событие C, которое состоит в наступлении хотя бы одного из этих событий
.
Таким образом, суммой двух совместных событий и называется событие C, которое состоит в наступлении или события , или события , или событий и вместе.
Определение. Суммой событий называется событие C, которое состоит в наступлении хотя бы одного из этих событий
.
Продемонстрируем данное определение с геометрической точки зрения с помощью диаграммы Эйлера-Венна.
Пример 1. Пусть событие состоит в попадании в круг , событие состоит в попадании в круг . Требуется определить событие .
Рис. 1. |
Решение. Согласно определению, если события и совместны (рис.1), то событие состоит в попадании в круг , или в попадании в круг , или в попадании в круг и в круг , т.е. событие состоит в попадании в |
заштрихованную область. Если события и несовместны, то с геометрической точки
Рис. 2. |
зрения (рис.2) круги на диаграмме Эйлера-Венна не пересекаются. В этом случае сумма событий состоит в попадании в круг , или попадании в круг , т.е. только в один из рассматриваемых кругов. |
Из рассмотренного примера вытекает следующее определение суммы несовместных событий.
Определение. Суммой несовместных событий называется событие C, которое состоит в наступлении одного из этих событий.
Пример 2. Найти событие, состоящее в том, что студент сдаст экзамен.
Решение. Введем обозначения:
событие A5 состоит в том, что студент получит оценку „5” на экзамене,
событие A4 состоит в том, что студент получит оценку „4” на экзамене,
событие A3 состоит в том, что студент получит оценку „3” на экзамене,
событие A2 состоит в том, что студент получит оценку „2” на экзамене,
Так как события A5, A4, A3 несовместны, то событие C, состоящее в том, что студент сдал экзамен, означает, что студент на экзамене получит только одну из оценок „5” или „4”, или „3”, т.е.
.
Определение. Произведением двух событий A и B называется событие C, состоящее в совместном наступлении этих событий
.
Таким образом, произведением двух событий и является событие , которое состоит в наступлении и события , и события .
Определение. Произведением событий называется событие , состоящее в совместном наступлении этих событий
.
Рассмотрим произведение событий с геометрической точки зрения.
Пример 3. Пусть событие состоит в попадании в круг , событие состоит в попадании в круг . Требуется определить событие .
Рис. 3. |
Решение. Согласно определению, для совместных событий и (рис.3) произведение этих событий состоит в попадании и в круг , и в круг , т.е. событие состоит в попадании в заштрихованную область. |
Если события и несовместны, то с геометрической точки зрения (рис.4),
Рис. 4. |
круги на диаграмме Эйлера-Венна не имеют ни одной общей точки, а поэтому невозможно одновременно попасть и в круг , и в круг . В этом случае произведение событий является невозможным событием . |
Этот вывод остается верным и в общем случае, если события A и B несовместны, то их совместное наступление невозможно, т.е. произведение
.
Пример. Найти событие, состоящее в том, что студент сдал сессию, включающую в себя три экзамена.
Решение. Введем обозначения:
событие состоит в том, что студент сдал первый экзамен,
событие состоит в том, что студент сдал второй экзамен,
событие состоит в том, что студент сдал третий экзамен,
Тогда событие , состоящее в том, что студент сдал сессию, означает, что студент сдал и первый экзамен, и второй экзамен, и третий экзамен, т.е.
.
Операции действий над событиями обладают следующими свойствами:
|
5. Законы де Моргана . |
|
6. Законы поглощения
. |
|
|
4. Законы идемпотентности . |
8. Законы, в которые входят достоверное событие и невозможное событие ;
; = . |