Свойства вероятности

Свойство 1. Вероятность невозможного события равна нулю

.

Доказательство. Так как – невозможное событие, то оно не может наступить ни при одной реализации комплекса условий . Поэтому нет ни одного события, благоприятствующего событию , т.е. . Вычисляя вероятность события, пользуясь классическим определением, находим

.

Свойство 2. Вероятность достоверного события равна единице

.

Доказательство. Так как U – достоверное событие, то оно наступает при каждой реализации комплекса условий . Поэтому число событий, благоприятствующих достоверному событию . Вычисляя вероятность события, пользуясь классическим определением, находим

.

Свойство 3. Вероятность любого события является неотрицательным числом, не превосходящим единицы

.

Доказательство. Поскольку число число событий, благоприятствующих событию , удовлетворяет неравенству

,

то, разделив неравенство на , получим

.

Согласно классическому определению вероятности , поэтому из последнего неравенства получаем

.

Докажем две элементарные теоремы.

Теорема. Если события и эквивалентны между собой, то их вероятности равны, т.е.

.

Доказательство. Пусть при реализации заданного комплекса условий может появиться единственно возможных, равновозможных и несовместных событий. Так как из определения эквивалентных событий следует, что каждый исход, благоприятствующий событию , благоприятствует и событию , и, наоборот, то

, (1)

где число событий, благоприятствующих событию ,

число событий, благоприятствующих событию .

Разделив равенство (1) на , находим

,

что, согласно классическому определению вероятности, означает

.

Теорема. Если событие влечет за собой событие , то вероятность события не превосходит вероятности события

.

Доказательство. Пусть при реализации заданного комплекса условий может появиться единственно возможных, равновозможных и несовместных событий. Так как, по определению, если событие влечет за собой событие , то каждый исход, благоприятствующий событию , благоприятствует и событию , т.е.

. (2)

Разделив равенство (2) на , находим

,

что, согласно классическому определению вероятности, означает

.

Отметим, что применение классического определения вероятностей ограничено, что объясняется следующими причинами:

1. число исходов испытания должно быть конечным;

2. исходы испытания должны быть равновозможными.

Преодоление первого ограничения при решении геометрических задач привело к геометрическому определению вероятности, а преодоление второго ограничения привело к статистическому определению вероятности.